Processing math: 0%

العمليات على المجموعات

العمليات على المجموعات
(T: Kümeler Üzerinde İşlemler)
(E: Set Operations)

1) الانتماء إلى مجموعة
لتكن لدينا المجموعة A نقول عن العنصر a أنه ينتمي إلى المجموعة A إذا كان a أحد عناصر المجموعة A ونرمز لذلك بالرمز a \in A ونقول أن العنصر a لا ينتمي إلى المجموعة A إذا لم يكن a أحد عناصر المجموعة A ونرمز لذلك بالرمز a \notin A .
2) المجموعة الجزئية (T: Alt Küme) (E: Supset)
لتكن لدينا المجموعتان A و B إذا كانت جميع عناصر المجموعة A موجودة في المجموعة B عندئذٍ نقول أن المجموعة A محتواة في المجموعة B أو نقول أن المجموعة B تحوي المجموعة A ونرمز لذلك بالرمز B \supseteq A .
3) تساوي مجموعتين (T: Eşit Kümeler) (E: Equivalent Set)
لتكن لدينا المجموعتان A و B نقول أن المجموعتان A و B متساويتان إذا كان A \supseteq B و B \supseteq A إي أن المجموعتان A و B تحتوي على نفس العناصر ونرمز لذلك بالرمز A=B .
4) لتكن لدينا مجموعتان A و B عندئذٍ اجتماع المجموعتان A و B (T: Bileşim) (E: Union) ونرمز له بالرمز A \cup B هو مجموعة كل العناصر المنتمية إلى المجموعة A أو المجموعة B .
5) لتكن لدينا مجموعتان A و B عندئذٍ تقاطع المجموعتين A و B (T: Kesişim) (T: Arakesit) (E: İntersection) ونرمز له بالرمز A \cap B هو مجموعة العناصر المنتمية إلى كلا المجموعتان A و B.
6) لتكن لدينا مجموعتان A و B عندئذٍ فرق المجموعتان A و B (T: Fark) (E: Difference) ونرمز له بالرمز A \setminus B هو مجموعة العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B .
ملاحظة: A \setminus B \neq B \setminus A
7) لتكن لدينا المجموعة الشاملة U ولتكن لدينا المجموعة A بحيث أن A \supseteq X عندئذٍ متممة المجموعة A (T: Bir Kümenin Tümleyeni) (E: Complement) ونرمز لها بالرمز A^c هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى X ولا تنتمي إلى A أي أن A^c=X \setminus A.
8) لتكن لدينا مجموعتان A و B عندئذٍ الفرق التناظري (T: Simetrik Fark) (E: Symmetric Difference) للمجموعتان A و B ونرمز له بالرمز A \triangle B ويعطى بالعلاقة الآتية:
A \triangle B =(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
9) مجموعة كل المجموعات الجزئية لمجموعة:
لتكن لدينا المجموعة X عندئذٍ مجموعة كل المجموعات الجزئية للمجموعة X ونرمز لها بالرمز \mathbf 2^X هي مجموعة كل المجموعات الجزئية المحتواة في X
ملاحظة: ليكن عدد عناصر المجموعة X هو n(X) عندئذٍ عدد عناصر المجموعة \mathbf 2^X هو:
2^{n(X)}

مثال 1 : لتكن لدينا المجموعة:
A=\{1,4,5,9\}
عندئذٍ 1 \in A و 6 \notin A .
مثال 2: ليكن لدينا المجموعة الشاملة:
U=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n\}
والمجموعات:
B=\{a,b,c,d,e,f,g\}
C=\{a,c,d,h,k,m\}
D=\{a,e\}
عندئذٍ:
B \supseteq D
B \cup C=\{a,b,c,d,e,f,g,h,k,m\}
B \cap C=\{a,c,d\}
B^c=\{h,i,j,k,l,m,n\}
D^c=\{b,c,d,f,g,h,i,j,k,m\}
B\setminus D=\{b,c,d,f,g\}
C\setminus D=\{c,d,h,k,m\}
B \setminus C=\{b,e,f,g\}
C \setminus B=\{h,k,m\}
B \triangle C=(B \setminus C) \cup (C \setminus B)=\{b,e,f,g\} \cup \{h,k,m\}=\{b,e,f,g,h,k,m\}
مثال 2: أوجد مجموعة كل المجموعات الجزئية للمجموعة:
X=\{a,b,c\}
الحل:
\mathbf 2^X=\{\emptyset , \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\},X\}
نلاحظ أن n(X)=3 و n(\mathbf 2^X)=2^{n(X)}= 2^3=8 .

خواص العمليات على المجموعات

لتكن لدينا المجموعة الشاملة U ولتكن لدينا المجموعات A,B,C عندئذٍ:
1) A \cup A=A~,~A \cup \emptyset =A~,~A \cup U=U
2) A \cap A=A~,~A \cap \emptyset =\emptyset~,~A \cap U=A
3) A\cup B \subseteq U
4) A \cup B =B \cup A
5) (A \cup B) \cup C=A \cup (B\cup C)
6) A \cap B \subseteq U
7) A \cap B =B \cap A
8) (A \cap B) \cap C=A \cap (B\cap C)
9) (A \cup B) \cap C=(A \cap C)\cup (B\cap C)
10) (A \cap B) \cup C=(A \cup C)\cap (B\cup C)
11) A \cup A^c=U
12) A \cap A^c= \emptyset
13) (A \cup B)^c=B^c \cap A^c
14) (A \cap B)^c=B^c \cup A^c

مقالات ذات صلة:
تعريف العملية
المجموعة
الجداء الديكارتي
تعريف العلاقة
علاقة الترتيب
علاقة التكافؤ

معيار المقارنة للمتسلسلات

معيار المقارنة للمتسلسلات(E: The Comparison Test)(T: Karşılaştırma Testi) لتكن لدينا المتسلسلتان:\[\…

المعيار الصفري لتقارب متسلسلة

المعيار الصفري لتقارب متسلسلة لتكن لدينا المتسلسلة:\sum^\infty_{k=1}a_kإذا كان :\[\lim_{k \right…

المتسلسلة الهندسية

المتسلسلة الهندسية(E: Geometric Series)(T: Geometrik Seri ) وهي متسلسلة من الشكل:\[\sum^\infty_{k=1}…

المتسلسلة الريمانية

المتسلسلة الريمانية(E: Harmonic Series)(T: Harmonik Seri ) وهي متسلسلة من الشكل:\[\sum^\infty_{k=1}\…

العمليات على المتسلسلات

العمليات على المتسلسلات(E: Operations on Series)(T: Seriler Üzerinde İşlemler) لتكن لدينا المتسلسلتا…

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *