المعادلة التفاضلية على الصورة \(a_n(x,y)(\acute y)^n+a_{n-1}(x,y)(\acute y)^{n-1}+\) \(~~~~~~\cdots +a_1 (x,y)\acute y+a_0(x,y)=0 \)

معادلة تفاضلية على الصورة
\(a_n(x,y)(\acute y)^n+a_{n-1}(x,y)(\acute y)^{n-1}+\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots +a_1 (x,y)\acute y+a_0(x,y)=0\)

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية من الشكل:
\(a_n(x,y)(\acute y)^n+a_{n-1}(x,y)(\acute y)^{n-1}+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots +a_1 (x,y)\acute y+a_0(x,y)=0 \tag{*}\label{*}\)
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\) وبالتالي تصبح المعادلة السابقة معادلة جبرية من الدرجة \(n\) بالنسبة لـ \(p\):
\(a_n(x,y)p^n+a_{n-1}(x,y)p^{n-1}+a_1(x,y) p\cdots +a_0(x,y)=0\)
2) نحل المعادلة السابقة كمعادلة جبرية بالنسبة لـ \(p\) فنحصل على \(n\) حل وهي عبارة عن معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى بالشكل التالي:
\[p_1=f_1(x,y)\]
\[p_2=f_2(x,y)\]
\[\vdots \]
\[p_n=f_n(x,y)\]
3) بحل المعادلات التفاضلية السابقة نحصل على \(n\) من الحلول هي:
\[\varphi_1 (x,y,c)=0\]
\[\varphi_2 (x,y,c)=0\]
\[\vdots \]
\[\varphi_n (x,y,c)=0\]
4) الحل العام للمعادلة \(\eqref {*}\) يكون بالشكل الآتي:
\[\varphi_1 (x,y,c)\cdot \varphi_2 (x,y,c)\cdot ~\cdots ~\cdot \varphi_n (x,y,c)=0\]

مثال 1 : أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[(\acute y)^2+(1+\sin x ) \acute y+\sin x=0\]
الحل:
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\) وبالتالي تصبح المعادلة السابقة معادلة جبرية من الدرجة \(2\) بالنسبة لـ \(p\):
\[p^2+(1+\sin x ) p+\sin x=0\]
2) نحل المعادلة السابقة كمعادلة جبرية بالنسبة لـ \(p\) فنحصل على حلين وهي عبارة عن معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى بالشكل التالي:
\[\triangle=(1+\sin x )^2-4\sin x=(1-\sin x )^2\]
\[p_1=\frac{-(1+\sin x )+\sqrt {(1-\sin x )^2}}{2}\]
\[=\frac{-(1+\sin x )+(1-\sin x )}{2}=-\sin x\]
\[p_2=\frac{-(1+\sin x )-\sqrt {(1-\sin x )^2}}{2}\]
\[=\frac{-(1+\sin x )-(1-\sin x )}{2}=-1\]
3) نحل المعادلات التفاضلية السابقة حيث \(\acute y=p\) :
\[p_1=-\sin x\Rightarrow \acute y=-\sin x\]
\[y=\cos x+c\Rightarrow y-\cos x-c=0\]
\[\varphi_1 (x,y,c)= y-\cos x-c=0\]
\[p_2=-1\Rightarrow \acute y=-1\]
\[y=-x+c\Rightarrow y+x-c=0\]
\[\varphi_2 (x,y,c)=y+x-c=0\]
4) الحل العام للمعادلة المعطاة يكون بالشكل الآتي:
\[\varphi_1 (x,y,c)\cdot \varphi_2 (x,y,c)=0\]
أي أن:
\[ (y-\cos x-c)\cdot (y+x-c)=0\]
حيث \(c\) ثابت حقيقي وهو الحل المطلوب.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
حل المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى
المعادلة التفاضلية من الشكل \(\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\)
المعادلة التفاضلية التامة
المعادلة التفاضلية الخطية
معادلة برنولي التفاضلية
معادلة ريكاتي التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجات العليا