الاستقراء الرياضي

الاستقراء الرياضي
(T:Matematiksel Tümevarım )
(E: Mathematical Induction )

نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي من اجل اثبات علاقات تتعلق بالعدد الطبيعي $n\in \Bbb N$ ولاستخدام هذه الطريقة نقوم بالخطوات التالية:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل أصغر عدد طبيعي مثلا $n=1$.
2) نفرض صحة العلاقة من أجل $k$ .
3) نثبت صحة العلاقة من أجل $k+1$ .
عندها تكون العلاقة صحيحة من أجل $n \ge 1$ .
ملاحظة: من أجل $n \in \Bbb N$ يمكن إثبات صحة العلاقات التالية باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي:
1)

$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
2) $$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
3) $$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
4) $$2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)$$
5) $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$
6) $$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot (n+1)}=\frac{n}{n+1}$$
7) $$1+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}\ge \sqrt n$$
8) $$\forall n \ge 2: n!\lt n^n$$
9) $$\forall n \ge 4: 2^n\lt n!$$
10) $$\forall n \ge 3: 2^n\gt 2n+1$$
11) $$\forall x \ge 0 , n \in \Bbb N : (1+x)^n \ge 1+nx$$

مثال 1: أثبت صحة العلاقة:

$$\forall n \in \Bbb N:1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
الحل:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل $n=1$ :
$$1=\frac{1(2)}{2}=1$$
أي أن العلاقة صحيحة من أجل $n=1$ .
2) نفرض صحة العلاقة من أجل $k$ أي أن:
$$1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$$
3) نثبت صحة العلاقة من أجل $k+1$ :
$$1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+k+1$$
$$=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
$$=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$$
أي أن العلاقة صحيحة من أجل $k+1$.
وبالتالي بحسب طريقة الاستقراء الرياضي فإن العلاقة المعطاة محققة.
مثال 2: أثبت صحة العلاقة:
$$n!\lt n^n$$
من أجل $n\ge 2$ .
الحل:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل $n=2$ :
$$2!=2 \lt 2^2=4$$
أي أن العلاقة صحيحة من أجل $n=2$ .
2) نفرض صحة العلاقة من أجل $k$ أي أن:
$$k! \lt k^k$$
3) نثبت صحة العلاقة من أجل $k+1$ :
$$(k+1)!=(k+1)\cdot k! \lt (k+1)\cdot k^k$$
$$\lt (k+1)(k+1)^k=(k+1)^{k+1}$$
أي أن العلاقة صحيحة من أجل $k+1$.
وبالتالي بحسب طريقة الاستقراء الرياضي فإن العلاقة المعطاة محققة مهما كانت $n \ge 2$ .
مثال 3: أثبت صحة العلاقة:
$$\forall n \gt 4: 2^n\lt n!$$
الحل:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل $n=4$ :
$$2^4=16 \lt 4!=24$$
أي أن العلاقة صحيحة من أجل $n=4$ .
2) نفرض صحة العلاقة من أجل $k$ أي أن:
$$2^k\lt k!$$
3) نثبت صحة العلاقة من أجل $k+1$ :
$$2^{k+1}=2\cdot 2^k \lt 2 \cdot k! \lt (k+1) \cdot k!=(k+1)!$$
أي أن العلاقة صحيحة من أجل $k+1$.
وبالتالي بحسب طريقة الاستقراء الرياضي فإن العلاقة المعطاة محققة مهما كانت $n \ge 4$ .