الدالة المتجانسة - المعادلة التفاضلية المتجانسة

الدالة المتجانسة
(E: Homogeneous Function)
(T: Homogen Fonksiyon)

نقول عن الدالة \(f(x,y)\) أنها متجانسة من الدرجة \(n\) إذا كان:
\[f(\lambda x,\lambda y))={\lambda}^n f(x,y),\lambda \in \Bbb R\]

مثال: إن الدالة
\[f(x,y)=x^2+5xy+y^2\]
دالة متجانسة من الرتبة الثانية لأن:
\[f(\lambda x, \lambda y)={( \lambda x)}^2+5(\lambda x)( \lambda y)+{( \lambda y)}^2\]
\[={\lambda }^2x^2+5{\lambda }^2xy+{\lambda }^2y^2\]
\[={\lambda }^2 (x^2+5xy+y^2)= {\lambda }^2f(x,y)\]

المعادلة التفاضلية المتجانسة
(E: Homogeneous Differential Equation)
(T: Homogen Diferansiyel Denklem)

نقول عن المعادلة التفاضلية العادية
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
أنها متجانسة من الرتبة \(n\) إذا كانت كلا الدالتين \(M(x,y)\) و \(N(x,y)\) دالتين متجانستين من الرتبة \(n\) .

مثال:
المعادلة التفاضلية
\[(x^3+y^3)dx-3x^2ydy=0\]
متجانسة من الرتبة الثالثة لأن
\[M(x,y)=x^3+y^3,N(x,y)=-3x^2y\]
\[M(\lambda x, \lambda y)={ (\lambda x )}^3+{( \lambda y) }^3\]
\[={\lambda}^3x^3+{\lambda}^3y^3\]
\[=\lambda^3(x^3+y^3)= \lambda^3 M(x,y)\]
\[N(\lambda x, \lambda y)=-3{ (\lambda x )}^2(\lambda y )\]
\[=-3{\lambda}^2x^2 \lambda y\]
\[=-3{\lambda}^3x^2 y={\lambda}^3N(x,y)\]
أي أن كل من \(M(x,y)\) و \(N(x,y)\) دالتين متجانستين من الرتبة الثالثة وبالتالي المعادلة التفاضلية المعطاة هي معادلة تفاضلية متجانسة من الرتبة الثالثة.

ملاحظة: مايميز المعادلة التفاضلية المتجانسة أنه يمكن كتابتها كدالة تابعة لـ \(\frac y x\) أي يمكن كتابتها بالشكل \(\acute y=f\left(\frac{y}{x}\right)\)

ملاحظة: يمكن إثبات أن المعادلة التفاضلية متجانسة بإحدى الطريقتين الآتيتين:
1) كتابتها بالشكل \(\acute y=f\left(\frac{y}{x}\right)\) .
2) كتابتها على الصورة القياسية \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] ومن ثم إثبات أن \[M(\lambda x,\lambda y))={\lambda}^n M(x,y),\lambda \in \Bbb R\]
\[N(\lambda x,\lambda y))={\lambda}^n N(x,y),\lambda \in \Bbb R\]
والطريقة الثانية أكثر استخداماً.

تحليل 1