حل المعادلة التفاضلية المتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة
(E: Homogeneous Differential Equation)
(T: Homogen Diferansiyel Denklem)

يمكن كتابة المعادلة التفاضلية المتجانسة بالشكل \(\acute y =f\left(\frac {y}{x}\right)\) أي يمكن كتابتها كدالة تابعة لـ \(\frac{y}{x}\) وبالتالي لحل المعادلة التفاضلية المتجانسة نتبع ما يلي:
1) نستخدم التحويل \(u=\frac{y}{x}\)
2) نعوض \(y=ux\) و \(dy=udx+xdu\) في المعادلة المعطاة نحصل على معادلة تفاضلية بدلالة \(u\) و \(x\) .
3) المعادلة الناتجة بدلالة \(u\) و \(x\) هي معادلة تفاضلية يمكن حلها عن طريق فصل المتغيرات نوجد الحل العام لها حسب طريقة فصل المتغيرات وهو حل بدلالة \(u\) و \(x\) وثابت \(c\).
4) نعوض \(u=\frac{y}{x}\) في الحل السابق لنحصل على الحل العام بدلالة \(y\) و\(x\) وثابت \(c\) وهو الحل العام للمعادلة المتجانسة المعطاة.

مثال: أوجد حل المعادلة التفاضلية الآتية:
\[(x^2+y^2)dx+5xydy=0\]
الحل: إن المعادلة السابقة معادلة تفاضلية متجانسة وبالتالي لإيجاد الحل نتبع مايلي
نفرض \(u=\frac{y}{x}\) وبالتالي \(y=ux\) و \(dy=udx+xdu\) نعوض في المعادلة نحصل على
\[(x^2+x^2u^2)dx+5xux(udx+xdu)=0\]
\[x^2(1+ u^2)dx+5x^2u (udx+xdu)=0\]
\[x^2(1+ u^2)dx+5x^2u^2dx+5x^3udu =0\]
\[x^2(1+ 6u^2)dx+5x^3udu =0\]
\[ (1+ 6u^2)dx+5xudu =0\]
\[\frac1xdx+\frac{5u}{1+6u^2}du=0\]
وهي معادلة تفاضلية يمكن حلها بطريقة فصل المتغيرات
\[\frac1xdx+\frac{5}{12}\frac{12u}{1+6u^2}du=0\]
\[\int\frac1xdx+\frac{5}{12}\int\frac{12u}{1+6u^2}du=c\]
ويمكن حل التكاملين السابقين بالاعتماد على جدول التكامل ويكون الحل بالشكل:
\[\ln x+\ln(1+6u^2)=\ln c_1\]
باستخدام خواص اللوغاريتم نحصل على
\[ x (1+6u^2)= c_1\]
للعودة إلى المتغيرين \(u=\frac{y}{x}\) و نستخدم التحويل نحصل على
\[x\left(1+6\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=c_1\]
\[x\left(1+6\frac{y^2}{x^2}\right)=c_1\]
\[x=\frac{6y^2}{x}=c_1\]
\[x^2+6y^2=c_1x\]
وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة حيث \(c_1\) ثابت اختياري ويمكن الحصول على حل خاص للمعادلة بإعطاء \(c_1\) قيمة معينة اختيارية مثلاً بإعطاء \(c_1\) القيمة  \(c_1=1\) نحصل على الحل الخاص \(x^2+6y^2=x\)
وبإعطاء \(c_1\) القيمة \(c_1=\frac12\) نحصل على الحل الخاص \(x^2+6y^2=\frac{x}{2}\) أي يوجد عدد لا نهائي من الحلول الخاصة للمعادلة التفاضلية الجزئية.

مثال: أوجد حل المعادلة الآتية:
\[3x^2\acute y-y^2-2xy=0\]
الحل : ذكرنا سابقاً أن المعادلة التفاضلية المتجانسة يمكن كتابتها بالشكل \(\acute y=f\left(\frac{y}{x}\right)\)  أي يمكن كتابتها كدالة تابعة لـ \(\frac y x\) نلاحظ هنا في هذه المعادلة أنه بتقسيم الطرفين على \(3x^2\) تصبح المعادلة من الشكل
\[\acute y-\frac{y^2}{3x^2}-\frac{2y}{3x}=0\]
أي أن
\[\acute y =\frac{y^2}{3x^2}+\frac{2y}{3x}\]
\[\acute y=\frac 1 3 \left(\frac y x \right)^2+\frac 2 3 \left(\frac y x \right)\]
وهي من الشكل \(\acute y=f\left(\frac{y}{x}\right)\) أي دالة تابعة لـ \(\frac y x\) أي أن المعادلة المعطاة متجانسة.
أو يمكن إثبات أن المعادلة متجانسة عن طريق كتابتها بالصورة القياسية بالشكل الآتي:
\[3x^2\frac {dy} {dx}-y^2-2xy=0\]
\[3x^2dy-(y^2+2xy)dx=0\]
وبالتالي حسب تعريف المعادلة المتجانسة إذا أثبتنا أن كلاً من الدالتين \(M(x,y)\)و \(N(x,y)\) متجانستين فإن المعادلة المعطاة تكون متجانسة
نلاحظ أن
\begin{align}
M(\lambda x,\lambda y) & =-({(\lambda y)}^2+2\lambda x \lambda y) \\
 & = -\lambda^2y^2-2\lambda x\lambda y \\
 & = -\lambda^2(y^2-2xy) \\
& = -\lambda^2M(x,y) \\
 \end{align}
\begin{align}
N(\lambda x,\lambda y) & =3{(\lambda x)}^2 \\
 & =3 \lambda^2 x^2 \\
 & = \lambda^2 N(x,y) \\
 \end{align}
أي أن كلا الدالتين\(M(x,y)\)و \(N(x,y)\) متجانستين من الرتبة \(2\) أي أن المعادلة متجانسة ويمكن حلها كما يلي:
نفرض أن \(u=\frac {y} {x}\) وبالتالي \(y=ux\) و \(dy=udx+xdu\)نعوض في المعادلة نحصل على
\[3x^2(udx+xdu)-(u^2x^2+2xux)dx=0\]
\[3x^2udx+3x^3du-u^2x^2dx-2ux^2dx=0\]
\[(x^2u-u^2x^2)dx+3x^3du=0\]
\[x^2(u-u^2)dx+3x^3du=0\]
بالتقسيم على \(x^2\neq 0\) نجد أن:
\[(u-u^2)dx+3xdu=0\]
بالتقسيم على المقدار \(x(u-u^2)\neq 0\) نحصل على
\[\frac {dx} {x} +\frac {3} {u-u^2}=0\]
وهي معادلة يمكن حلها عن طريق فصل المتغيرات
\[\int\frac {dx}{x} +\int\frac{3}{u-u^2}du=c\]
\[\int\frac {dx}{x} +3\int\frac{1}{u(1—u)}du=c\]
التكامل الأول يحل حسب جدول التكاملات والتكامل الثاني يحل عن طريق تفريق الكسور بالشكل الآتي
\[\frac{1}{ u(1—u)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{1-u}\]
بتوحيد المقامات
\[\frac{1}{ u(1—u)}=\frac{A(1-u)}{u}+\frac{Bu}{1-u}\]
بحذف المقامات لأنها متساوية نجد:
\[1=A-Au+Bu\]
\[1=A+(B-A)u\]
بمطابقة الطرفين نجد أن
\[A=1,B-A=0\]
وبالتالي
\[A=1,B=1\]
أي أن الكسر يمكن كتابته بالشكل
\[\frac{1}{ u(1—u)}=\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}\]
وبالتالي يمكن حساب التكامل بالاعتماد على جدول التكاملات بالشكل الآتي:
\begin{align}
\int\frac{1}{ u(1—u)}dx & =\int\frac{1}{u}dx+\int\frac{1}{1-u}dx \\
 & =\ln u +\ln (1-u) +c \\
  \end{align}
وبالتالي حل المعادلة يصبح بالشكل
\[\int\frac {dx}{x} +3(\ln u +\ln (1-u) )=c\]
\[\ln x +3(\ln u +\ln (1-u) )=c\]
للعودة إلى المتغيرين \(x\) و \(y\) نعوض \(u=\frac y x \) في الحل السابق نحصل على
\[\ln x +3(\ln \frac y x +\ln (1-\frac y x) )=c\]
وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
حل المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
حل المعادلة التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات
الدالة المتجانسة – المعادلة التفاضلية المتجانسة