المعادلة التفاضلية من الشكل \(\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\)

المعادلة التفاضلية من الشكل \(\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\)

إن المعادلة التفاضلية العادية من الشكل:
\[\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\]
حيث أن \(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\) ثوابت تنتمي إلى \Bbb R تؤول إلى معادلة تفاضلية متجانسة بالشكل التالي:
1) إذا كان \(c_1=c_2=0\) فإن المعادلة المعطاة تؤول إلى الشكل:
\[\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y}\]
وهي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الأولى ولحلها نستخدم طرق حل المعادلة التفاضلية المتجانسة.
2) إذا كان \(c_1 \neq 0\) أو \(c_2 \neq 0\) وكان
\[\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}\neq 0\]
أي أن المستقيمان
\[a_1x+b_2y+c_1=0\]
\[a_2x+b_2y+c_2=0\]
 متقاطعان في نقطة ولتكن \((x_1,y_1)\) عندئذٍ باستخدام التحويلين
\[x=u+x_1,y=v+y_1\]
نحصل على معادلة تفاضلية متجانسة من الشكل المذكور في 1) وهي معادلة بدلالة \(u\) و \(v\) وبحلها حسب 1) نحصل على حل بدلالة \(u\) و \(v\) نستخدم التحويليين السابقين للرجوع إلى المتغيرين \(x\) و \(y\) ويكون هو الحل المطلوب.
2) إذا كان
\[\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}= 0\]
وهذا يعني أن المستقيمان
\[a_1x+b_2y+c_1=0\]
\[a_2x+b_2y+c_2=0\]
متوازيان في هذه الحالة نستخدم أحد التحويلين \(z=a_1x+b_1y\) أو \(z=a_2x+b_2y\)
تصبح المعادلة معادلة بدلالة \(z\) و \(x\) قابلة لفصل المتغيرات نحلها بطريقة فصل المتغيرات كما نستخدم التحويل السابق  في الحل للعودة إلى المتغيرين \(x\) و \(y\) .

مثال: أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية الآتية:
\[\frac {dy}{dx}=\frac {2x+y+1}{x+y-3}\]
الحل: بماأن \(\begin{vmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{vmatrix}=2-1=1\) فهذا يعني أن المستقميان
\[ 2x+y+1=0  \tag{1}\label{1}\]
\[x+y-3=0  \tag{2}\label{2}\]
متقاطعان وبالحل المشترك للمعادلتين السابقين يمكن إيجاد نقطة التقاطع بالشكل الآتي:
من المعادلة \eqref{2} نجد أن \(x=-y+3\) نعوض في المعادلة \eqref{1} نجد أن
\[2(-y+3)+y+2=0\]
\[=2y+6+y+1=0\]
\[-y+7=0\]
أي أن \(y=7\) وبما أن \(x=-y+3\) فهذا يعني أن \(x=-7+3=-4\) أي أن نقطة التقاطع هي \((-4,7)\) بعد إيجاد نقطة التقاطع نستخدم التحويلين:
\[x=u-4~,~y=v+7\]
نلاحظ أن \(dy=dv\) و \(dx=du\) نعوض في المعادلة التفاضلية المعطاة نحصل على
\[\frac {dv}{du}=\frac{2(u-4)+(v+7)+1}{u-4+v+7-3}\]
\[=\frac{2u-8+v+7+1}{u-4+v+7-3}=\frac{2u+v}{u+v}\]
أي أن
\[\frac{dv}{du}=\frac{2u+v}{u+v}\]
وهي معادلة تفاضلية متجانسة من المرتبة الأولى بالنسبة لـ \(u\) و \(v\) لحلها نفرض أن \(z=\frac v u \) وبالتالي \(v=z.u\) و \(dv=z.du+dz.u\) نعوض في المعادلة السابقة نحصل على
\[\frac{z.du+dz.u}{du}=\frac{2u+z.u}{u+z.u}\]
أي أن
\[z+u\frac{dz}{du}=\frac{2+z}{1+z}\]
أي أن
\begin{align}
u\frac{dz}{du} & = \frac{2+z}{1+z}-z \\
 & =\frac{2-z^2}{1+z} \\
\end{align}
والتي يمكن كتابتها بالشكل:
\[\frac{1+z}{2-z^2}dz=\frac{du}{u}\]
وهي معادلة تفاضلية تحل بطريقة فصل المتغيرات.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
حل المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى