تعريف تابع المسافة والفضاء المتري

تابع المسافة والفضاء المتري
(T:Metrik) ( T:Metrik Uzay)
(E: Metric) (E: Metric Space)

لتكن لدينا  \(X\) مجموعة ما وليكن \(d:X\times X \to \Bbb R\)  تابع حقيقي معرف على المجموعة \(X\times X \)  بحيث يحقق الشروط الآتية:
1) \(\forall x,y \in X: d(x,y)\ge 0\)
أي أن قيم تابع المسافة غير سالبة.
2) \(d(x,y)=0 \Rightarrow x=y\)
أي إذا كانت المسافة بين عنصرين تساوي الصفر فإن العنصرين متساوييان.
3) \(\forall x,y \in X: d(x,y)=d(y,x)\)
تدعى هذه الخاصة بخاصة التناظر (T: Simetri Özelliği) (E: Symmetric)
4) \(\forall x,y,z \in X: d(x,y)+d(y,z) \ge d(x,z)\)
تسمى هذه الخاصة بمتراجحة المثلث (T: Üçgen Eşitsizliği) (E: Triangle Inequality)
عندئذٍ نقول أن التابع \(d\) تابع مسافة ونسمي الثنائية \((X,d)\) بالفضاء المتري وتدعى عناصر الفضاء المتري بالنقاط (T: Noktalar) (E: Points)
ملاحظة: يمكن تعميم خاصة المثلث لعدد غير منته من النقاط بالشكل الآتي:
ليكن \((X,d)\) فضاء متري ولتكن النقاط \(\forall x_1,x_2,\dots,x_n \in X\) عندئذٍ:
\[d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+\dots+d(x_{n-1},x_n)\ge d(x_1,x_n)\]
ويمكن إثبات ذلك عن طريق الاستقراء الرياضي (T: Tümevarım) (E: Induktion)

أمثلة:
1) فضاء الأعداد الحقيقية \(\Bbb R\) مع المسافة \(d:\Bbb R \times \Bbb R \rightarrow \Bbb R^+:d(x,y)=|y-x|\).
2) فضاء المستوي الإقليدي \(\Bbb R^2\) مع المسافة \(d:\Bbb R^2 \times \Bbb R^2 \rightarrow \Bbb R^+:\)
\(d(x,y)= \sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}, x=(x_1,y_1),y=(y_1,x+1) \) أو مع المسافة \(d(x,y)=|y_1-x_1|+|y_2-x_2|\).