العمليات على المجموعات

العمليات على المجموعات
(T: Kümeler Üzerinde İşlemler)
(E: Set Operations)

1) الانتماء إلى مجموعة
لتكن لدينا المجموعة \(A\) نقول عن العنصر \(a\) أنه ينتمي إلى المجموعة \(A\) إذا كان \(a\) أحد عناصر المجموعة \(A\) ونرمز لذلك بالرمز \(a \in A\) ونقول أن العنصر \(a\) لا ينتمي إلى المجموعة \(A\) إذا لم يكن \(a\) أحد عناصر المجموعة \(A\) ونرمز لذلك بالرمز \(a \notin A\) .
2) المجموعة الجزئية (T: Alt Küme) (E: Supset)
لتكن لدينا المجموعتان \(A\) و \(B\) إذا كانت جميع عناصر المجموعة \(A\) موجودة في المجموعة \(B\) عندئذٍ نقول أن المجموعة \(A\) محتواة في المجموعة \(B\) أو نقول أن المجموعة \(B\) تحوي المجموعة \(A\) ونرمز لذلك بالرمز \(B \supseteq A\) .
3) تساوي مجموعتين (T: Eşit Kümeler) (E: Equivalent Set)
لتكن لدينا المجموعتان \(A\) و \(B\) نقول أن المجموعتان \(A\) و \(B\) متساويتان إذا كان \(A \supseteq B\) و \(B \supseteq A\) إي أن المجموعتان \(A\) و \(B\) تحتوي على نفس العناصر ونرمز لذلك بالرمز \(A=B\) .
4) لتكن لدينا مجموعتان \(A\) و \(B\) عندئذٍ اجتماع المجموعتان \(A\) و \(B\) (T: Bileşim) (E: Union) ونرمز له بالرمز \(A \cup B\) هو مجموعة كل العناصر المنتمية إلى المجموعة \(A\) أو المجموعة \(B\) .
5) لتكن لدينا مجموعتان \(A\) و \(B\) عندئذٍ تقاطع المجموعتين \(A\) و \(B\) (T: Kesişim) (T: Arakesit) (E: İntersection) ونرمز له بالرمز \(A \cap B\) هو مجموعة العناصر المنتمية إلى كلا المجموعتان \(A\) و \(B\).
6) لتكن لدينا مجموعتان \(A\) و \(B\) عندئذٍ فرق المجموعتان \(A\) و \(B\) (T: Fark) (E: Difference) ونرمز له بالرمز \(A \setminus B\) هو مجموعة العناصر التي تنتمي إلى \(A\) ولا تنتمي إلى \(B\) .
ملاحظة: \(A \setminus B \neq B \setminus A\)
7) لتكن لدينا المجموعة الشاملة \(U\) ولتكن لدينا المجموعة \(A\) بحيث أن \(A \supseteq X\) عندئذٍ متممة المجموعة \(A\) (T: Bir Kümenin Tümleyeni) (E: Complement) ونرمز لها بالرمز \(A^c\) هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى \(X\) ولا تنتمي إلى \(A\) أي أن \(A^c=X \setminus A\).
8) لتكن لدينا مجموعتان \(A\) و \(B\) عندئذٍ الفرق التناظري (T: Simetrik Fark) (E: Symmetric Difference) للمجموعتان \(A\) و \(B\) ونرمز له بالرمز \(A \triangle B\) ويعطى بالعلاقة الآتية:
\[A \triangle B =(A \setminus B) \cup (B \setminus A)\]
9) مجموعة كل المجموعات الجزئية لمجموعة:
لتكن لدينا المجموعة \(X\) عندئذٍ مجموعة كل المجموعات الجزئية للمجموعة \(X\) ونرمز لها بالرمز \(\mathbf 2^X\) هي مجموعة كل المجموعات الجزئية المحتواة في \(X\)
ملاحظة: ليكن عدد عناصر المجموعة \(X\) هو \(n(X)\) عندئذٍ عدد عناصر المجموعة \(\mathbf 2^X\) هو:
\[2^{n(X)}\]

مثال 1 : لتكن لدينا المجموعة:
\[A=\{1,4,5,9\}\]
عندئذٍ \(1 \in A\) و \(6 \notin A\) .
مثال 2: ليكن لدينا المجموعة الشاملة:
\[U=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n\}\]
والمجموعات:
\[B=\{a,b,c,d,e,f,g\}\]
\[C=\{a,c,d,h,k,m\}\]
\[D=\{a,e\}\]
عندئذٍ:
\[B \supseteq D\]
\[B \cup C=\{a,b,c,d,e,f,g,h,k,m\}\]
\[B \cap C=\{a,c,d\}\]
\[B^c=\{h,i,j,k,l,m,n\}\]
\[D^c=\{b,c,d,f,g,h,i,j,k,m\}\]
\[B\setminus D=\{b,c,d,f,g\}\]
\[C\setminus D=\{c,d,h,k,m\}\]
\[B \setminus C=\{b,e,f,g\}\]
\[C \setminus B=\{h,k,m\}\]
\[B \triangle C=(B \setminus C) \cup (C \setminus B)=\{b,e,f,g\} \cup \{h,k,m\}=\{b,e,f,g,h,k,m\}\]
مثال 2: أوجد مجموعة كل المجموعات الجزئية للمجموعة:
\[X=\{a,b,c\}\]
الحل:
\[\mathbf 2^X=\{\emptyset , \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\},X\}\]
نلاحظ أن \(n(X)=3\) و \(n(\mathbf 2^X)=2^{n(X)}= 2^3=8\) .

خواص العمليات على المجموعات

لتكن لدينا المجموعة الشاملة \(U\) ولتكن لدينا المجموعات \(A,B,C\) عندئذٍ:
1) \(A \cup A=A~,~A \cup \emptyset =A~,~A \cup U=U\)
2) \(A \cap A=A~,~A \cap \emptyset =\emptyset~,~A \cap U=A\)
3) \(A\cup B \subseteq U\)
4) \(A \cup B =B \cup A\)
5) \((A \cup B) \cup C=A \cup (B\cup C)\)
6) \(A \cap B \subseteq U\)
7) \(A \cap B =B \cap A\)
8) \((A \cap B) \cap C=A \cap (B\cap C)\)
9) \((A \cup B) \cap C=(A \cap C)\cup (B\cap C)\)
10) \((A \cap B) \cup C=(A \cup C)\cap (B\cup C)\)
11) \(A \cup A^c=U\)
12) \(A \cap A^c= \emptyset\)
13) \((A \cup B)^c=B^c \cap A^c\)
14) \((A \cap B)^c=B^c \cup A^c\)

مقالات ذات صلة:
تعريف العملية
المجموعة
الجداء الديكارتي
تعريف العلاقة
علاقة الترتيب
علاقة التكافؤ