تعريف الزمرة

الزمرة
(T: Grup)
(E: Group)

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية ولنعرف العملية \( (\cdot ) \) بالشكل الآتي:
\[ \cdot : X \times X \rightarrow X\]
\[ (a,b) \mapsto a.b \]
عندئذٍ نقول عن \( (X,\cdot )\) أنها زمرة (T: Grup) (E: Group) إذا تحققت الشروط الآتية:
(1) العملية تجميعية (T: Birleşmeli) (E:Associative) أي أن لكل \(c,a,b\) من \(X\) فإن:
$$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$
(2) يوجد عنصر حيادي (T: Etkisiz Eleman) (T: Birim Eleman) (E: Identity Element) (E: Neutral Element) في \(X\) أي أن
$$\exists e\in X: \forall a\in X:e \cdot a=a \cdot e=a$$
(3) يوجد لكل عنصر \(a\) من \(X\) نظير (T: Ters) (E:Inverse) أي أن
$$\forall a\in X: \exists b\in X: b \cdot a=a \cdot b=e$$
ونقول عن الزمرة أنها زمرة تبديلية (T: Abel Grubu) ( T: Abelyen Grup)( T: Değişmeli Grup) (E:Commutative) إذا تحقق الشرط:
$$\forall a,b \in X:a\cdot b=b\cdot a$$

خواص الزمرة:
(1) كل زمرة هي شبه زمرة.
(2) بما أن شبه الزمرة تحتوي على حيادي واحد على الأكثر فإن الزمرة تحتوي على حيادي وحيد.
(3) يوجد لكل عنصر \(a\) من الزمرة \(X\) عنصر نظير وحيد نرمز له بالرمز \(a^{-1}\) .
(4) \(\forall a \in X: (a^{-1})^{-1}=a\)
(5) \(\forall a,b \in X: (a \cdot b)^{-1}=(b)^{-1}\cdot (a)^{-1}\)

أمثلة:
1) إن الثنائية\((\Bbb R,+)\) زمرة تبديلية. الثنائية \((\Bbb R^{\ast},\times)\) أيضاً زمرة تبديلية.
2) إن الثنائية \((\Bbb Z,+)\) زمرة تبديلية.