تعريف الحلقة

الحلقة
(E: Ring)
(T: Halka)

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية. ولنعرف العمليتين \( (+)\) و \( (\cdot )\) على المجموعة \(X\) عندئذٍ نقول عن الثلاثية \( (X,+,\cdot )\) أنها حلقة (T: Halka) (E: Ring) إذا وفقط إذا كان:
(1) \( (X,+ )\) زمرة تبديلية.
(2) العملية \( ( \cdot )\) عملية تجميعية (T: Birleşmeli) (E:Associative) أي أن:
\[\forall a,b,c \in X: (a\cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\]
(3) العملية \( ( \cdot )\) توزيعية (T: Dağılma Özelliği) (E: Associative) على العملية \( ( + )\) من اليمين ومن اليسار أي أنه :
\[\forall a,b,c \in X : a\cdot (b + c)=a \cdot b +a \cdot c\]
\[ (a+ b) \cdot c=a \cdot c +b \cdot c\]

ملاحظة: نقول عن الحلقة أنها تبديلية ( T: Değişmeli) (E:Commutative) إذا كانت العملية \( (\cdot )\) تبديلية أي أن:
\[\forall a,b \in X: a \cdot b = b \cdot a \]
ملاحظة: نسمي العنصر الحيادي بالنسبة للعملية \( (+)\) بصفر الحلقة ونسمي العنصر الحيادي بالنسبة للعملية \( (\cdot )\) بواحد الحلقة.

مثال:
\( (\Bbb Z, +, \cdot )\) حلقة تبديلية حيث \( (+)\) و \( (\cdot )\) هما عملتي جمع وضرب الأعداد في \(\Bbb Z\).
\( (\Bbb Q, +, \cdot )\) حلقة تبديلية حيث \( (+)\) و \( (\cdot )\) هما عملتي جمع وضرب الأعداد \(\Bbb Q\).
\( (\Bbb R, +, \cdot )\) حلقة تبديلية حيث \( (+)\) و \( (\cdot )\) هما عملتي جمع وضرب الأعداد \(\Bbb R\).

مقالات ذات صلة:
تعريف الزمرة