الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^n\)

\(\Bbb R^n\) الفضاء الإقليدي
(T: Öklid Uzayı \(\Bbb R^n\))
(E: Euclidean Space \(\Bbb R^n\))

وهو مجموعة كل النونيات المرتبة من الأعداد الحقيقية أي أن:
\[\Bbb R^n=\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_n); x_1,x_2,\dots,x_n \in \Bbb R\}\]
نعرف على هذا الفضاء عمليتي الجمع والضرب بعدد حقيقي بالشكل الآتي:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) ,Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n) \in \Bbb R^n:\]
\[X+Y=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+ (y_1,y_2,\cdots ,y_n)\]
\[=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n)\]
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \in \Bbb R^n ,\forall k \in \Bbb R:\]
\[k \cdot X=k \cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n)=(k \cdot x_1, k \cdot x_2,\cdots ,k \cdot x_n)\]

الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^n\) فضاء خطي ( فضاء متجهي)

إن الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^n\) فضاء خطي على حقل الأعداد الحقيقية مع عمليتي الجمع والضرب بعدد حقيقي السابقتين ويمكن إثبات ذلك بالشكل الآتي:
أولاً:
لنثبت أن عملية الجمع تبديلية:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) ,Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n) \in \Bbb R^n:\]
\[X+Y=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+ (y_1,y_2,\cdots ,y_n)\]
\[=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n)\]
\[=(y_1+x_1,y_2+x_2,\cdots ,y_n+x_n)=Y+X\]
أي أن عملية الجمع تبديلية.
ثانياً:
لنثبت أن عملية الجمع تجميعية:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) ,Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n),Z=(z_1,z_2,\cdots ,z_n) \in \Bbb R^n:\]
\[X+(Y+Z)=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+ \Big( (y_1,y_2,\cdots ,y_n)+(z_1,z_2,\cdots ,z_n)\Big)\]
\[=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+ (y_1+z_1,y_2+z_2,\cdots ,y_n+z_n)\]
\[=\Big(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2),\cdots ,x_n+(y_n+z_n)\Big)\]
\[=\Big((x_1+y_1)+z_1,(x_2+y_2)+z_2,\cdots ,(x_n+y_n)+z_n\Big)\]
\[=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n)+(z_1,z_2,\cdots ,z_n)\]
\[=\Big( (x_1,x_2,\cdots ,x_n)+(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\Big)+(z_1,z_2,\cdots ,z_n)\]
\[=(X+Y)+Z\]
ثالثاً:
لنثبت وجود العنصر الحيادي
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \exists O=(0,0,\cdots,0):\]
\[X+O=(x_1+,x_2,\cdots ,x_n)+(0,0,\cdots,0)\]
\[=(x_1+0,x_2+0,\cdots ,x_n+0)=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X\]
\[O+X=(0,0,\cdots,0)+(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\]
\[=(0+x_1,0+x_2,\cdots ,0+x_n)=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X\]
رابعاً:
لنثبت وجود العنصر النظير
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \exists -X=(-x_1,-x_2,\cdots ,-x_n):\]
\[X+\Big(-X\Big)=(x_1+,x_2,\cdots ,x_n)+(-x_1,-x_2,\cdots ,-x_n)\]
\[=\Big(x_1+(-x_1),x_2+(-x_2),\cdots ,x_n+(-x_n)\Big)\]
\[=(0,0,\cdots ,0)=O\]
\[\Big(-X\Big)+X=(-x_1,-x_2,\cdots ,-x_n)+(x_1+,x_2,\cdots ,x_n)\]
\[=\Big((-x_1)+x_1,(-x_2)+x_2,\cdots ,(-x_n)+x_n\Big)\]
\[=(0,0,\cdots ,0)=O\]
خامساً:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) ,Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n) \in \Bbb R^n , \forall k \in :\Bbb R:\]
\[k\cdot (X+Y)=k \cdot \Big((x_1,x_2,\cdots ,x_n)+ (y_1,y_2,\cdots ,y_n)\Big)\]
\[=k \cdot(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n)\]
\[=\Big(k \cdot (x_1+y_1),k \cdot (x_2+y_2),\cdots,k \cdot (x_n+y_n)\]
\[=(k \cdot x_1+k \cdot y_1,k \cdot x_2+k \cdot y_2,\cdots ,k \cdot x_n+k \cdot y_n)\]
\[=(k \cdot x_1,k \cdot x_2,\cdots ,k \cdot x_n)+(k \cdot y_1,k \cdot y_2,\cdots ,k \cdot y_n)\]
\[=k \cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n)+k \cdot (y_1,y_2,\cdots ,y_n)=k \cdot X+k \cdot Y\]
سادساً:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \in \Bbb R^n , \forall k_1,k_2 \in :\Bbb R:\]
\[(k_1+k_2)\cdot X=(k_1+k_2)\cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n)\]
\[= \Big((k_1+k_2)x_1,(k_1+k_2)x_2,\cdots ,(k_1+k_2)x_n\Big)\]
\[= (k_1\cdot x_1+k_2\cdot x_1,k_1\cdot x_2+k_2\cdot x_2,\cdots ,k_1\cdot x_n+k_2\cdot x_n\Big)\]
\[= (k_1\cdot x_1,k_1\cdot x_2,\cdots ,k_1\cdot x_n)+(k_2\cdot x_1,k_2\cdot x_2,\cdots ,k_2\cdot x_n)\]
\[= k_1\cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n) +k_2\cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n)=k_1\cdot X+k_2\cdot X\]
سابعاً:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \in \Bbb R^n , \forall k_1,k_2 \in :\Bbb R:\]
\[(k_1\cdot k_2)\cdot X=(k_1\cdot k_2)\cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n)\]
\[= \Big((k_1\cdot k_2)\cdot x_1,(k_1\cdot k_2)\cdot x_2,\cdots ,(k_1\cdot k_2)\cdot x_n\Big)\]
\[= \Big(k_1\cdot (k_2\cdot x_1),k_1\cdot (k_2\cdot x_2),\cdots ,k_1\cdot (k_2\cdot x_n)\Big)\]
\[=k_1\cdot (k_2\cdot x_1,k_2\cdot x_2,\cdots ,k_2\cdot x_n)\]
\[= k_1\cdot \Big(k_2\cdot(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\Big)=k_1\cdot \Big(k_2\cdot X\Big)\]
ثامناً:
\[\forall X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) \in \Bbb R^n :\]
\[1\cdot X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\]
\[=(1 \cdot x_1,1 \cdot x_2,\cdots ,1 \cdot x_n)=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X\]
وبالتالي الفضاء الإقليدي هو فضاء خطي.

الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^n\) فضاء متري

الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^n\) فضاء متري (T: Metrik Uzay) (E: Metric Space) بالمسافة:
\[d(x,y)=\sqrt {(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\dots +(y_n-x_n)^2}\]
وتسمى هذه المسافة بالمسافة الإقليدية (T: Öklid Metriği) (E: Euclidean Metric) في الفضاء \(\Bbb R^n\).

مقالات ذات صلة
الفضاء المتري
الفضاء الخطي أو الفضاء المتجهي