الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^3\)

\(\Bbb R^3\) الفضاء الإقليدي
(T: Öklid Uzayı \(\Bbb R^3\) )
(E: Euclidean Space \(\Bbb R^3\) )

:وهو مجموعة كل الثلاثيات المرتبة من الأعداد الحقيقية أي أن
\[\Bbb R^3=\{x=(x_1,x_2,x_3); x_1,x_2,x_3 \in \Bbb R\}\]
:نعرف على هذا الفضاء عمليتي الجمع والضرب بعدد حقيقي بالشكل الآتي
\[\forall X=(x_1,x_2,,x_3) ,Y=(y_1,y_2,y_3) \in \Bbb R^3:\]
\[X+Y=(x_1,x_2,x_3)+ (y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\]
\[\forall X=(x_1,x_2 ,x_3) \in \Bbb R^3 ,\forall k \in \Bbb R:\]
\[k \cdot X=k \cdot (x_1,x_2,x_3)=(k \cdot x_1, k \cdot x_2,k \cdot x_3)\]

الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^3\) فضاء خطي ( فضاء متجهي)

إن الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^3\) فضاء خطي على حقل الأعداد الحقيقية مع عمليتي الجمع والضرب بعدد حقيقي السابقتين ويمكن إثبات ذلك بالشكل الآتي
أولاً:
لنثبت أن عملية الجمع تبديلية:
\[\forall X=(x_1,x_2,x_3) ,Y=(y_1,y_2,y_3) \in \Bbb R^3:\]
\[X+Y=(x_1,x_2,x_3)+ (y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\]
\[=(y_1+x_1,y_2+x_2,y_3+x_3)=Y+X\]
أي أن عملية الجمع تبديلية.
ثانياً:
لنثبت أن عملية الجمع تجميعية:
\[\forall X=(x_1,x_2,x_3) ,Y=(y_1,y_2,y_3),Z=(z_1,z_2,z_3) \in \Bbb R^3:\]
\[X+(Y+Z)=(x_1,x_2,x_3)+ \Big( (y_1,y_2,y_3)+(z_1,z_2,z_3)\Big)\]
\[=(x_1,x_2,x_3)+ (y_1+z_1,y_2+z_2,y_3+z_3)\]
\[=\Big(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2),x_3+(y_3+z_3)\Big)\]
\[=\Big((x_1+y_1)+z_1,(x_2+y_2)+z_2,(x_3+y_3)+z_3\Big)\]
\[=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)+(z_1,z_2,z_3)\]
\[=\Big( (x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)\Big)+(z_1,z_2,z_3)\]
\[=(X+Y)+Z\]
ثالثاً:
لنثبت وجود العنصر الحيادي
\[\forall X=(x_1,x_2,x_3) \exists O=(0,0,0):\]
\[X+O=(x_1+,x_2,x_3)+(0,0,0)=(x_1+0,x_2+0,x_3+0)=(x_1,x_2,x_3)=X\]
\[O+X=(0,0,0)+(x_1,x_2 ,x_3)=(0+x_1,0+x_2,0+x_3)=(x_1,x_2,x_3)=X\]
رابعاً:
لنثبت وجود العنصر النظير
\[\forall X=(x_1,x_2 ,x_3) \exists -X=(-x_1,-x_2,-x_3):\]
\[X+\Big(-X\Big)=(x_1+,x_2,x_3)+(-x_1,-x_2,-x_3)=\Big(x_1+(-x_1),x_2+(-x_2),x_3+(-x_3)\Big)\]
\[=(0,0,0)=O\]
\[\Big(-X\Big)+X=(-x_1,-x_2,-x_3)+(x_1+,x_2,x_3)=\Big((-x_1)+x_1,(-x_2)+x_2,(-x_3)+x_3\Big)\]
\[=(0,0,0)=O\]
خامساً:
\[\forall X=(x_1,x_2 ,x_3) ,Y=(y_1,y_2,y_3) \in \Bbb R^3 , \forall k \in :\Bbb R:\]
\[k\cdot (X+Y)=k \cdot \Big((x_1,x_2,x_3)+ (y_1,y_2,y_3)\Big)\]
\[=k \cdot(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=\Big(k \cdot (x_1+y_1),k \cdot (x_2+y_2),k \cdot (x_3+y_3)\Big)\]
\[=(k \cdot x_1+k \cdot y_1,k \cdot x_2+k \cdot y_2 ,k \cdot x_3+k \cdot y_3)\]
\[=(k \cdot x_1,k \cdot x_2 ,k \cdot x_3)+(k \cdot y_1,k \cdot y_2 ,k \cdot y_3)\]
\[=k \cdot (x_1,x_2,x_3)+k \cdot (y_1,y_2,y_3)=k \cdot X+k \cdot Y\]
سادساً:
\[\forall X=(x_1,x_2,x_3) \in \Bbb R^3 , \forall k_1,k_2 \in :\Bbb R:\]
\[(k_1+k_2)\cdot X=(k_1+k_2)\cdot (x_1,x_2,x_3)\]
\[= \Big((k_1+k_2)x_1,(k_1+k_2)x_2,(k_1+k_2)x_3\Big)\]
\[= (k_1\cdot x_1+k_2\cdot x_1,k_1\cdot x_2+k_2\cdot x_2,k_1\cdot x_3+k_2\cdot x_3\Big)\]
\[= (k_1\cdot x_1,k_1\cdot x_2,k_1\cdot x_3)+(k_2\cdot x_1,k_2\cdot x_2,k_2\cdot x_3)\]
\[= k_1\cdot (x_1,x_2,x_3) +k_2\cdot (x_1,x_2,x_3)=k_1\cdot X+k_2\cdot X\]
سابعاً:
\[\forall X=(x_1,x_2,x_3) \in \Bbb R^3 , \forall k_1,k_2 \in :\Bbb R:\]
\[(k_1\cdot k_2)\cdot X=(k_1\cdot k_2)\cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_3)\]
\[= \Big((k_1\cdot k_2)\cdot x_1,(k_1\cdot k_2)\cdot x_2,(k_1\cdot k_2)\cdot x_3\Big)\]
\[= \Big(k_1\cdot (k_2\cdot x_1),k_1\cdot (k_2\cdot x_2),k_1\cdot (k_2\cdot x_3)\Big)\]
\[=k_1\cdot (k_2\cdot x_1,k_2\cdot x_2,k_2\cdot x_3)\]
\[= k_1\cdot \Big(k_2\cdot(x_1,x_2,x_3)\Big)=k_1\cdot \Big(k_2\cdot X\Big)\]
ثامناً:
\[\forall X=(x_1,x_2,x_3) \in \Bbb R^3:\]
\[1\cdot X=(x_1+,x_2,x_n)=(1 \cdot x_1,1 \cdot x_2 ,1 \cdot x_3)=(x_1,x_2,x_3)=X\]
وبالتالي الفضاء الإقليدي هو فضاء خطي.

الفضاء الإقليدي \(\Bbb R^3\) فضاء متري

إن هذا الفضاء فضاء متري (T: Metrik Uzay) (E: Metric Space) بالمسافة:
\[d(x,y)=\sqrt {(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}\]
وتسمى هذه المسافة بالمسافة الإقليدية (T: Öklid Metriği) (E: Euclidean Metric) في الفضاء \(\Bbb R^3\).

تحليل 1