تكوين المعادلة التفاضلية

تكوين المعادلة التفاضلية
(E: Formation of Differential Equation)
(T: Diferensiyel Denklem Oluşturulması)

ليكن لدينا المعادلة التفاضلية من المرتبة $n$ التالية:
$$
{
f(x,y,\acute y,\acute {\acute y}, \cdots ,y^{(n)})=0
}
$$
إن لهذه المعادلة حل عام يحتوي على عدد $n$ من الثوابت الاختيارية:

$$
{
\varphi(x,y,c_1,c_2, \cdots ,c_n)=0
}
$$
من جهة أخرى, يمكننا من خلال معرفة الحل العام أن نشكل المعادلة التفاضلية لهذا الحل بالطريقة الآتية:
1. نشتق الحل العام بعدد الثوابت أي نشتق الحل العام $n$ مرة وبالتالي نحصل على $n$ من المعادلات.
2. نقوم بحذف الثوابت عن طريق الحل المشترك للمعادلات السابقة.
وبذلك نحصل على المعادلة التفاضلية المطلوبة. يمكن توضيح ذلك بالمثال التالي:

مثال: أوجد المعادلة التفاضلية التي لها الحل العام التالي:
\[y=c_1 x+c_2 x^2 \tag{1}\label{1}\]
الحل: لإيجاد المعادلة التفاضلية نتبع الخطوات التالية:
1. نشتق الحل العام بعدد الثوابت أي نشتق الحل العام مرتين لوجود ثابتين $c_1$ و $c_2$ وبالتالي نحصل على المعادلتين:
\[\acute y =c_1+2 c_2 x \tag{2}\label{2}\]
\[\acute {\acute y} =2 c_2 \tag{3}\label{3}\]
2. نقوم بحذف الثوابت عن طريق الحل المشترك للمعادلتين السابقتين بالشكل التالي:
من المعادلة $\eqref {3}$ نجد أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid aqua]{c_2=\frac{\acute {\acute y}}{2}}\tag{4}\label{4}$$
نعوض في المعادلة $\eqref {2}$ نجد:
\[\acute y =c_1+2 \frac{\acute {\acute y}}{2} x \]
\[\Rightarrow\acute y =c_1+\acute {\acute y} x \]
$$ \Rightarrow \bbox[5px,border:2px solid aqua]{c_1 =\acute y-\acute {\acute y} x}\tag{5}\label{5}$$
نعوض $\eqref {4}$ و $\eqref {5}$في الحل العام $\eqref {1}$ نجد:
\[y=(\acute y-\acute {\acute y} x ) x+\frac{\acute {\acute y}}{2} x^2 \]
\[\Rightarrow y=\acute y x-\acute {\acute y} x^2 +\frac{1}{2}\acute {\acute y} x^2\]
\[\Rightarrow y=\acute y x-\frac{1}{2}\acute {\acute y} x^2\]
$$ \Rightarrow\bbox[5px,border:2px solid blue]{y=\acute y x-\frac{1}{2}\acute {\acute y} x^2}$$
وهي المعادلة التفاضلية المطلوبة.