حل المعادلة التفاضلية الجزئية

حل المعادلة التفاضلية الجزئية
(E: Solution of Partial Differential Equation)
(T: Kısmi Diferansiyel Denklemin Çözümü )

ندعو الدالة \(z=f(x,y)\) التابعة للمتغييرين المستقلين \(x\) و \(y\) حل للمعادلة التفاضلية الجزئية:
\[G\left(x,y,z,\frac {\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {y}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial x \partial y},\dots,\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n},\frac {{\partial}^n z}{\partial {y}^n} \right)=0\]
إذا حققت الشروط الآتية:
1- الدالة \(z=f(x,y)\) قابلة للاشتقاق \(n\) مرة.
2- الدالة \(y=y(x)\) تحقق المعادلة التفاضلية الجزئية
\[G\left(x,y,z,\frac {\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {y}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial x \partial y},\dots,\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n},\frac {{\partial}^n z}{\partial {y}^n} \right)=0\]

مثال: أثبت أن الدالة:
\[u(x,y)=x^2-y^2\]
حل للمعادلة التفاضلية:
\[u_{xx}+u_{yy}=0\]
الحل:
\[u_x=2x~~,~~u_{xx}=2\]
\[u_y=-2y~~,~~u_{yy}=-2\]
نعوض في المعادلة المعطاة
\[u_{xx}+u_{yy}=2+(-2)=0\]
المعادلة محققة
وبالتالي فإن الدالة:
\[u(x,y)=x^2-y^2\]
حل للمعادلة التفاضلية المعطاة