تكوين المعادلة التفاضلية الجزئية

تكوين المعادلة التفاضلية الجزئية
(E: Formation of Partial Differential Equation)
(T: Kısmi Diferensiyel Denklem Oluşturulması)

ليكن لدينا المعادلة التفاضلية الجزئية من المرتبة \(n\) التالية:
\[G\left(x,y,z,\frac {\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {y}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial x \partial y},\dots,\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n},\frac {{\partial}^n z}{\partial {y}^n} \right)=0\]
إن لهذه المعادلة حل عام يحتوي على عدد \(n\) من الثوابت الاختيارية أو على \(n\) من الدوال الاختيارية.
من جهة أخرى, يمكننا من خلال معرفة الحل العام أن نشكل المعادلة التفاضلية الجزئية لهذا الحل بالطريقة الآتية:
1. نشتق الحل العام بعدد الثوابت أو بعدد الدوال الاختيارية أي نشتق الحل العام \(n\) مرة وبالتالي نحصل على \(n\) من المعادلات.
2. نقوم بحذف الثوابت عن طريق الحل المشترك للمعادلات السابقة.

مثال 1: كون المعادلة التفاضلية للحل المعطى بالشكل التالي:
\[u(x,y)=ax^2+by^2\]
الحل:
\[u_x=2ax~~\Rightarrow~~a=\frac{u_x}{2x}\]
\[u_y=2by~~\Rightarrow~~b=\frac{u_y}{2y}\]
نعوض في الحل المعطى:
\[u=(\frac{u_x}{2x})x^2+(\frac{u_y}{2y})y^2\]
\[u=\frac{1}{2}xu_x+\frac{1}{2}yu_y\]
\[xu_x+yu_y-2u=0\]
وهي المعادلة التفاضلية المطلوبة.
مثال 2: كون المعادلة التفاضلية للحل المعطى بالشكل التالي:
\[u(x,y)=xy+f(x^2+y^2)\]
الحل:
نفرض أن \(v=x^2+y^2\)وبالتالي فإن:
\[u(x,y)=xy+f(v)\]
\[u_x=y+\frac{df}{dv}v_x\]
\[u_x=y+2x\frac{df}{dv}\tag{*20}\label{*20}\]
\[u_y=x+\frac{df}{dv}v_y\]
\[u_y=x+2y\frac{df}{dv}\tag{*21}\label{*21}\]
من المعادلة \(\eqref {*20}\) نجد أن:
\[\Rightarrow \frac {df}{dv}=\frac {1}{2x}(u_x-y)\]
نعوض في المعادلة \(\eqref {*21}\) نجد:
\[u_y=x+2y(\frac{1}{2x}(u_x-y))\]
\[u_y=x+\frac{y}{x}(u_x-y)\]
\[xu_y-yu_x=x^2-y^2\]
وهي المعادلة التفاضلية المطلوبة.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية الجزئية