تقارب متتالية

تقارب متتالية
(E: Convergence of Sequence)
(T: Dizinin Yakınsaklığı)

لتكن لدينا متتالية \(s(n)\). نقول عن المتتالية \(s(n)\) أنها متقاربة (T: Yakınsak) (E: Convergent) من عدد \(a\) إذا تحقق الشرط التالي:
\[\forall \epsilon \gt 0 : \exists N_{\epsilon} \in \Bbb N: \forall n \ge N_{\epsilon} : |s(n)-a| \lt \epsilon\]
ونعبر عن ذلك بالشكل الآتي:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }s(n)=a\]
وعندئذٍ نقول أن نهاية المتتالية \(s(n)\) (T:Dizinin Limiti) (Limit of Sequence) هي \(a\).

ملاحظة: إذا لم يتحقق الشرط السابق من أجل أي عدد فإننا نقول أن المتتالية متباعدة (T:Iraksak ) (E: Divergent).

مثال 1: أثبت أن المتتالية:
\[ s: \Bbb N \rightarrow \Bbb R: s(n)=\frac 1n\]
متقاربة من الصفر.
الحل: لإثبات ذلك علينا إيجاد العدد الطبيعي \(N_{\epsilon}\)
يمكننا أن نفكر بهذه الطريقة:
\[ |s(n)-a|= |\frac 1n-0|=|\frac 1n|=\frac 1n\lt \epsilon\]
أي أنه بفرض أن:
\[n\gt \frac {1}{\epsilon}\]
وبالتالي بإخذ \(N_{\epsilon}\) بالشكل التالي:
\[N_{\epsilon}\gt \frac {1}{\epsilon}\]
نستطيع بكل سهولة أن نكتب شرط التقارب بالشكل التالي
\[\forall \epsilon \gt 0 : \exists N_{\epsilon} \in \Bbb N, ~N_{\epsilon}\gt \frac {1}{\epsilon}: \]
\[\forall n \ge N_{\epsilon} : |s(n)-0|=\frac 1n \lt \epsilon\]
أي أن:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\frac 1n=0\]
مثال 2: أثبت أن المتتالية:
\[ s: \Bbb N \rightarrow \Bbb R: s(n)=\frac {n^2-n}{n^2+1}\]
متقاربة من العدد 1.
الحل: لإثبات ذلك علينا إيجاد العدد الطبيعي \(N_{\epsilon}\)
يمكننا أن نفكر بهذه الطريقة:
\[ |s(n)-a|= |\frac {n^2-n}{n^2+1}-1|=|\frac {n^2-n-n^2-1}{n^2+1}|\]
\[=|\frac {-(n+1)}{n^2+1}|=|\frac {n+1}{n^2+1}|\lt \frac{n+1}{n^2}\le\frac{2n}{n^2} =\frac 2 n \lt \epsilon\]
أي أنه بفرض أن:
\[n\gt \frac {2}{\epsilon}\]
وبالتالي بإخذ \(N_{\epsilon}\) بالشكل التالي:
\[N_{\epsilon}\gt \frac {2}{\epsilon}\]
نستطيع بكل سهولة أن نكتب شرط التقارب بالشكل التالي
\[\forall \epsilon \gt 0 : \exists N_{\epsilon} \in \Bbb N, ~N_{\epsilon}\gt \frac {2}{\epsilon}: \]
\[\forall n \ge N_{\epsilon} : |s(n)-1|=\frac 2n \lt \epsilon\]
أي أن:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\frac {n^2-n}{n^2+1}=1\]