تعريف الحد الأدنى الأعظمي

تعريف الحد الأدنى الأعظمي
(T: En Büyük Alt Sınır)
(E: The Greatest Lower Bound)

تعريف الحد الأدنى الأعظمي: لتكن لدينا مجموعة \(X \subseteq \Bbb R\) . عندئذٍ نقول عن العدد \(b \in \Bbb R\) أنه حد أدنى أعظمي للمجموعة \(X\) ونرمز له بالرمز \(\inf X \) إذا تحقق الشرطين الآتين:
1) \[\forall x \in X: b \le x \]
أي أن \(b\) حد أدنى للمجموعة \(X\) .
2) \[\forall \epsilon \gt 0 : \exists x \in X : x \le b+\epsilon\]

ملاحظة: ليس من الضروري أن يكون للمجموعة حد أدنى أعظمي لكن إن وجد فهو وحيد.

مثال 1: لتكن لدينا المجموعة:
\[A=]1,3[\]
إن للمجموعة \(A\) عدد لا نهائي من الحدود الدنيا وذلك لأن:
\[\forall x \in A: x_1 \le x\]
محققة من أجل أي \(x_1 \le 1\).
أي أن مجموعة الحدود الدنيا للمجموعة \(A\) هي
\[]-\infty,1]\]
وبالتالي الحد الأدنى الأعظمي هو \(1\) أي أن:
\[\inf A=1\]

مثال 2: لتكن لدينا المجموعة:
\[B=]-\infty,0]\]
نلاحظ أنه لا يوجد لهذه المجموعة حد أدنى لأنه لايمكن إيجاد عدد مثل \(x_1\) بحيث أن:
\[\forall x \in B: x_1 \le x\]
وبالتالي لا يوجد للمجموعة \(B\) حد أدنى أي أن مجموعة الحدود الدنيا للمجموعة \(B\) هي المجموعة الخالية \(\emptyset\) وبالتالي لا يوجد حد أدنى أعظمي للمجموعة \(B\).

مقالات ذات صلة:
تعريف الحد الأدنى
تعريف الحد الأعلى
تعريف الحد الأعلى الأصغري