تعريف الحد الأعلى الأصغري

تعريف الحد الأعلى الأصغري
(T: En Küçük Üst Sınır)
(E: The Least Upper Bound)

تعريف الحد الأعلى الأصغري: لتكن لدينا مجموعة \(X \subseteq \Bbb R\) . عندئذٍ نقول عن العدد \(a \in \Bbb R\) أنه حد أعلى أصغري للمجموعة \(X\) ونرمز له بالرمز \(\sup X \) إذا تحقق الشرطين الآتين:
1) \[\forall x \in X: x \le a \]
أي أن \(a\) حد أعلى للمجموعة \(X\) .
2) \[\forall \epsilon \gt 0 : \exists x \in X : a-\epsilon \le x\]

ملاحظة: ليس من الضروري أن يكون للمجموعة حد أعلى أصغري لكن إن وجد فهو وحيد.

مثال 1: لتكن لدينا المجموعة:
\[A=]1,3[\]
إن للمجموعة \(A\) عدد لا نهائي من الحدود العليا وذلك لأن:
\[\forall x \in A: x \le x_1\]
محققة من أجل أي \(x_1 \ge 3\).
أي أن مجموعة الحدود العليا للمجموعة \(A\) هي
\[[3,+\infty[\]
وبالتالي أن الحد الأعلى الأصغري للمجموعة \(A\) هو \(3\) أي أن:
\[\sup A=3\]

مثال 2: لتكن لدينا المجموعة:
\[B=]1,+ \infty[\]
نلاحظ أنه لا يوجد لهذه المجموعة حد أعلى لأنه لايمكن إيجاد عدد مثل \(x_1\) بحيث أن:
\[\forall x \in B: x \le x_1\]
وبالتالي لا يوجد للمجموعة \(B\) حد أعلى أي أن مجموعة الحدود العليا للمجموعة \(B\) هي المجموعة الخالية \(\emptyset\) وبالتالي لايوجد للمجموعة \(B\) حد أعلى أصغري.

مقالات ذات صلة:
تعريف الحد الأدنى
تعريف الحد الأعلى
تعريف الحد الأدنى الأعظمي