تعريف العنصر الأصغر

العنصر الأصغر
(T: Minimal Eleman)
(E: The Least Element)

لتكن لدينا مجموعة \(X\) . عندئذٍ نقول عن العدد \(l\) أنه عنصر أصغر للمجموعة \(X\) إذا كان \(l \in X\) ويحقق الشرط التالي:
\[\forall x \in X: l \le x \]
ونرمز له بالرمز \(\min \) أي أن:
\[l= \min X \]

ملاحظة: ليس من الضرورة أن يكون للمجموعة عنصر أصغر.

ملاحظة: إذا كان الحد الأدنى الأعظمي للمجموعة \(X\) ينتمي للمجموعة \(X\) عندئذٍ \(\inf X=\min X\) .

مثال 1: لتكن لدينا المجموعة:
\[A=[1,3[\]
إن للمجموعة \(A\) عدد لا نهائي من الحدود الدنيا وذلك لأن:
\[\forall x \in A: x_1 \le x\]
محققة من أجل أي \(x_1 \le 1\).
أي أن مجموعة الحدود الدنيا للمجموعة \(A\) هي
\[]-\infty,1]\]
وبالتالي الحد الأدنى الأعظمي هو \(1\) أي أن:
\[\inf A=1\]
وبما أن \(1 \in A\) فإن \(\min A=1\) .

مثال 2: لتكن لدينا المجموعة:
\[B=]1,3[\]
إن للمجموعة \(B\) عدد لا نهائي من الحدود الدنيا وذلك لأن:
\[\forall x \in B: x_1 \le x\]
محققة من أجل أي \(x_1 \le 1\).
أي أن مجموعة الحدود الدنيا للمجموعة \(B\) هي
\[]-\infty,1]\]
وبالتالي الحد الأدنى الأعظمي هو \(1\) أي أن:
\[\inf B=1\]
وبما أن \(1 \notin B\) فإنه لا يوجد عنصر أصغر للمجموعة \(B\) .

مثال 3: لتكن لدينا المجموعة:
\[C=]-\infty,0]\]
نلاحظ أنه لا يوجد لهذه المجموعة حد أدنى لأنه لايمكن إيجاد عدد مثل \(x_1\) بحيث أن:
\[\forall x \in C: x_1 \le x\]
وبالتالي لا يوجد للمجموعة \(C\) حد أدنى أي أن مجموعة الحدود الدنيا للمجموعة \(C\) هي المجموعة الخالية \(\emptyset\) وبالتالي لا يوجد حد أدنى أعظمي للمجموعة \(C\) وبالتالي لايوجد للمجموعة عنصر أصغر.

مقالات ذات صلة:
تعريف الحد الأدنى
تعريف الحد الأعلى
تعريف الحد الأدنى الأعظمي
تعريف الحد الأعلى الأصغري
تعريف العنصر الأكبر