تعريف العنصر الأكبر

العنصر الأكبر
(T: Maksimal Eleman)
(E: The Greatest Element)

لتكن لدينا مجموعة \(X\) . عندئذٍ نقول عن العدد \(g\) أنه عنصر أكبر للمجموعة \(X\) إذا كان \(g \in X\) ويحقق الشرط التالي:
\[\forall x \in X: x \le g \]
ونرمز له بالرمز \(\max \) أي أن:
\[g= \max X \]

ملاحظة: ليس من الضرورة أن يكون للمجموعة عنصر أكبر.

مثال 1: لتكن لدينا المجموعة:
\[A=]1,3]\]
إن للمجموعة \(A\) عدد لا نهائي من الحدود العليا وذلك لأن:
\[\forall x \in A: x \le x_1\]
محققة من أجل أي \(x_1 \ge 3\).
أي أن مجموعة الحدود العليا للمجموعة \(A\) هي
\[[3,+\infty[\]
وبالتالي أن الحد الأعلى الأصغري للمجموعة \(A\) هو \(3\) أي أن:
\[\sup A=3\]
وبما أن \(3 \in A\) فإن \(\max A=3\) .

مثال 2: لتكن لدينا المجموعة:
\[B=]1,3[\]
إن للمجموعة \(B\) عدد لا نهائي من الحدود العليا وذلك لأن:
\[\forall x \in B: x \le x_1\]
محققة من أجل أي \(x_1 \ge 3\).
أي أن مجموعة الحدود العليا للمجموعة \(B\) هي
\[[3,+\infty[\]
وبالتالي أن الحد الأعلى الأصغري للمجموعة \(B\) هو \(3\) أي أن:
\[\sup A=3\]
وبما أن \(3 \notin B\) فإنه لايوجد للمجموعة \(B\) عنصر أكبر.

مثال 3: لتكن لدينا المجموعة:
\[C=]1,+ \infty[\]
نلاحظ أنه لا يوجد لهذه المجموعة حد أعلى لأنه لايمكن إيجاد عدد مثل \(x_1\) بحيث أن:
\[\forall x \in C: x \le x_1\]
وبالتالي لا يوجد للمجموعة \(C\) حد أعلى أي أن مجموعة الحدود العليا للمجموعة \(C\) هي المجموعة الخالية \(\emptyset\) وبالتالي لايوجد للمجموعة \(C\) حد أعلى أصغري وبالتالي لا يوجد للمجموعة \(C\) عنصر أكبر.

مقالات ذات صلة:
تعريف الحد الأدنى
تعريف الحد الأعلى
تعريف الحد الأدنى الأعظمي
تعريف الحد الأعلى الأصغري