علاقة التكافؤ

علاقة التكافؤ
(T: Denklik Bağlantısı)
(E: Equivalence Relation)

لتكن لدينا المجموعة \(A\). ولتكن العلاقة \(R\) من \(A\) إلى \(A\) عندئذٍ نقول عن العلاقة \(R\) أنها علاقة تكافؤ (T: Denklik Bağlantısı) (E: Equivalence Relation) إذا حققت الشروط التالية:
1) العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية (T: Yansıma Özelliği) (E: Reflexive) على \(A\) أي أن:
\[\forall x \in A: (x,x) \in R\]
2) العلاقة \(R\) علاقة تناظرية (T: Simetri Özelliği ) (E: Symmetric) على \(A\) أي أن:
\[ \forall x,y\in A:(x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R\]
3) العلاقة \(R\) علاقة متعدية (T: Geçişme Özelliği) (T: Transitive) على \(A\) أي أن:
\[\forall x,y,z \in A: (x,y) \in R,(y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R\]

مثال: لتكن لدينا المجموعة \(A=\{a,b,c,d\}\) . ولتكن لدينا العلاقة:
\[R=\{(a,a), (b,b), (c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(a,c), (c,a)\}\]
أثبت أن \(R\) علاقة تكافؤ على \(A\) .
الحل: 1) لنثبت أن \(R\) علاقة انعكاسية: نلاحظ أن:
\[(a,a), (b,b), (c,c),(d,d) \in R\]
وبالتالي \(R\) علاقة انعكاسية على \(A\).
2) لنثبت أن \(R\) علاقة تناظرية: نلاحظ أن:
\[(a,b),(b,a) \in R\]
\[(b,c),(c,b) \in R\]
\[(a,c),(c,a) \in R\]
وبالتالي العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية على \(A\) .
3) لنثبت أن \(R\) علاقة متعدية: نلاحظ أن:
\[(a,b),(b,c),(a,c) \in R\]
\[(b,c), (c,a), (b,a) \in R\]
وبالتالي \(R\) علاقة متعدية على \(A\) .
بما أن \(R\) علاقة انعكاسية ومتناظرة ومتعدية فهي علاقة تكافؤ.

مقالات ذات صلة:
علاقة الترتيب
تعريف العلاقة
الجداء الديكارتي