طريقة التقريبات المتتالية لحل المعادلة التكاملية من النوع الثاني

طريقة التقريبات المتتالية
(T: Ardaşık Yaklaşımlar Metodu)
(E: The method of Successive Approximations)

لتكن لدينا معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الثاني التالية:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^xK(x,t)\varphi(t)dt\]
لإيجاد حل هذه المعادلة التكاملية بطريقة التقريبات المتتالية نتبع الخطوات التالية:
1) نوجد الدوال $\varphi_n (x)$ بالشكل التالي:
\[\varphi_n(x)=f(x)+\lambda \int_0^xK(x,t)\varphi_{n-1}(t)dt\]
2) إيجاد نهاية المتتالية $\{\varphi_n (x)\}$ ويكون هو الحل المطلوب
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n (x)=\varphi (x)\]

مثال 1 : أوجد حل المعادلة التكاملية التالية بطريقة التقريبات المتتالية:
\[\varphi (x)=1+\int_0^x\varphi(t)dt\]
الحل:
1) نوجد الدوال $\varphi_n (x)$ بالشكل التالي:
نعتبر أن $\varphi_0 (x)=1$ ومنه نجد أن:
\[\varphi_1 (x)=1+\int_0^x\varphi_0(t)dt=1\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_1 (x)=1
}
$$
\[\varphi_2 (x)=1+\int_0^x\varphi_1(t)dt\]
\[\varphi_2 (x)=1+\int_0^xdt=1+x\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_2 (x)=1+x
}
$$
\[\varphi_3 (x)=1+\int_0^x\varphi_2(t)dt\]
\[=1+\int_0^x(1+t)dt=1+x+\frac12x^2\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_3 (x)=1+x+\frac{1}{2!}x^2
}
$$
وبالاستقراء الرياضي نستنتج أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
}
$$
2) إيجاد نهاية المتتالية $\{\varphi_n (x)\}$
نعلم أن:
\[\sum_{n=0}^x\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^x\]
وبالتالي فإن نهاية المتتالية $\{\varphi_n (x)\}$ هي الدالة $e^x$ أي أن
\[\varphi (x)=e^x\]