حل المعادلة التكاملية من الشكل \(\varphi (x)=f(x)+\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\)

حل المعادلة التكاملية من الشكل \(\varphi (x)=f(x)+\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\)

لتكن لدينا المعادلة التكاملية من الشكل:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\]
لإيجاد حل هذه المعادلة التكاملية نتبع الخطوات التالية:
1) نطبق تحويل لابلاس لطرفي المعادلة التكاملية السابقة:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\}\]
2) حسب تعريف الالتفاف نجد”
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\ast \varphi(x)\}\]
3) بتطبيق العلاقة بين الالتفاف وتحويل لابلاس نجد:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\} \cdot \mathfrak{L} \{\varphi(x)\}\]
\[\Phi (s)=F(s)+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\} \cdot \Phi(s)\]
4) نحل المعادلة الأخيرة بالنسبة لـ \(\Phi (s)\)
\[\Phi (s)-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\} \cdot \Phi(s)=F(s)\]
\[\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right] \cdot \Phi(s)=F(s)\]
\[ \Phi(s)=\frac{F(s)}{\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right]}\]
5) نطبق تحويل لابلاس العكسي لطرفي المعادلة الأخيرة:
\[ {\mathfrak{L}}^{-1}\{\Phi(s)\}={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{F(s)}{\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right]}\}\]
أي أن:
\[ \varphi (x)={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{F(s)}{\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right]}\}\]
وهو الحل المطلوب.

مثال : أوجد حل المعادلة التكاملية التالية:
\[\varphi (x)=\cos x+2\int_0^x\sin (x-t)\varphi(t)dt\]
الحل:
1) نطبق تحويل لابلاس لطرفي المعادلة التكاملية السابقة
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{\cos x\}+2\cdot \mathfrak{L} \{\int_0^x\sin (x-t)\varphi(t)dt\}\]
2) حسب تعريف الالتفاف نجد”
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{\cos x\}+2\cdot\mathfrak{L} \{\sin (x) \ast \varphi(x)\}\]
3) بتطبيق العلاقة بين الالتفاف وتحويل لابلاس نجد:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{\cos x\}+2\cdot\mathfrak{L} \{\sin (x)\} \cdot \mathfrak{L} \{\varphi(x)\}\]
باستخدام جدول تحويل لابلاس:
\[\Phi (s)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{2}{s^2+1} \cdot \Phi(s)\]
4) نحل المعادلة الأخيرة بالنسبة لـ \(\Phi (s)\) :
\[\Phi (s)-\frac{2}{s^2+1}\cdot \Phi(s)=\frac{s}{s^2+1}\]
\[\left[1-\frac{2}{s^2+1}\right] \cdot \Phi(s)=\frac{s}{s^2+1}\]
\[ \Phi(s)=\frac{\frac{s}{s^2+1}}{\left[1-\frac{2}{s^2+1}\right]}\]
\[\Phi(s)=\frac{\frac{s}{s^2+1}}{\left[\frac{s^2-1}{s^2+1}\right]}=\frac{s}{s^2-1}\]
5) نطبق تحويل لابلاس العكسي لطرفي المعادلة الأخيرة:
\[ {\mathfrak{L}}^{-1}\{\Phi(s)\}={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{s}{s^2-1}\}\]
باستخدام جدول تحويل لابلاس العكسي:
\[ \varphi (x)={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{s}{s^2-1}\}=\cosh x\]
وهو الحل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
معادلة  فولتيرا التكاملية من النوع الأول ومن النوع الثاني
طريقة النواة الحالة لحل المعادلة التكاملية من النوع الثاني
طريقة التقريبات المتتالية لحل المعادلات التكاملية من النوع الثاني