المعادلة التفاضلية التامة

المعادلة التفاضلية التامة
(E: Exact Differential Equation)
(T: Tam Diferansiyel Denklem)

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية بالصورة القياسية من الشكل:
\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\]
نقول عن هذه المعادلة أنها معادلة تفاضلية تامة إذا تحقق الشرط:
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]
ويكون حلها بالشكل الآتي:
\[\int P(x,y)~dx +\int Q(x,y)~dy-\int \left[\frac{\partial }{\partial y}\int P(x,y)dx\right]~dy=c\]
أيضاً يمكن حلها بالشكل الآتي:
\[\int P(x,y)~dx +\int Q(x,y)~dy-\int \left[\frac{\partial }{\partial x}\int Q(x,y)dy\right]~dx=c\]

مثال : أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[2xydx+x^2dy=0\]
الحل: نلاحظ أن:
\[\frac{\partial P}{\partial y}=2x~,~\frac{\partial Q}{\partial x}=2x\]
أي أن المعادلة معادلة تفاضلية تامة وحلها يعطى بالعلاقة التالية:
\[\int 2xy~dx +\int x^2~dy-\int \left[\frac{\partial }{\partial y}\int 2xydx\right]~dy=c\]
\[x^2y +x^2y-\int \left[\frac{\partial }{\partial y}(x^2y)\right]~dy=c\]
\[2x^2y -\int x^2~dy=c\]
\[2x^2y -x^2y=c\]
\[x^2y=c\]
وهو الحل المطلوب.
يمكن أن نحصل على نفس الحل إذا استخدمنا العلاقة:
\[\int 2xy~dx +\int x^2~dy-\int \left[\frac{\partial }{\partial x}\int x^2~dy\right]~dx=c\]
\[x^2y +x^2y-\int \left[\frac{\partial }{\partial x}(x^2y)\right]~dx=c\]
\[2x^2y -\int 2xy~dx=c\]
\[2x^2y -x^2y=c\]
\[x^2y=c\]