المعادلة التفاضلية الخطية

المعادلة التفاضلية الخطية
(E: Linear Differential Equation)
(T: Doğrusal Diferansiyel Denklem)

المعادلة التفاضلية الخطية هي معادلة من الشكل الآتي:
\[\frac{dy}{dx}+ B(x)\cdot y=C(x)\]
حيث \(B(x)\) و \(C(x)\) دالتين تابعتين فقط لـ \(x\) .
وهي معادلة خطية بالنسبة لـ \(y\) ويعطى الحل العام لها بالشكل الآتي:
\[I(x) \cdot y= \int I(x) \cdot C(x)~dx+c~,~I(x)=e^{\int B(x)~dx}\]
حيث \(c\) ثابت حقيقي.
يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية الخطية بالشكل الآتي:
\[\frac{dx}{dy}+ B(y)\cdot x=C(y)\]
حيث \(B(y)\) و \(C(y)\) دالتين تابعتين فقط لـ \(y\) .
أي ممكن أن تكون المعادلة التفاضلية خطية بالنسبة لـ \(x\) وبهذه الحالة يكون الحل العام لها بالشكل الآتي:
\[I(y) \cdot x= \int I(y) \cdot C(y)~dy+c~,~I(y)=e^{\int B(y)~dy}\]
حيث \(c\) ثابت حقيقي.

مثال : أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[\frac{dy}{dx}+ \frac 1x\cdot y=e^{x^2}\]
الحل:
نلاحظ أن المعادلة السابقة معادلة خطية بالنسبة لـ \(y\) حيث:
\[B(x)= \frac 1x~,~C(x)=e^{x^2}\]
ويعطى الحل العام لها بالشكل الآتي:
\[I(x) \cdot y= \int I(x) \cdot C(x)~dx+c~,~I(x)=e^{\int B(x)~dx}\]
\[I(x)=e^{\int B(x)~dx}=e^{\int \frac 1x~dx}=e^{\ln x}=x\]
وبالتالي :
\[x \cdot y= \int x \cdot e^{x^2}~dx+c=\frac 12 e^{x^2}+c\]
أي أن:
\[ y=\frac {1}{2x} e^{x^2}+\frac cx\]
حيث \(c\) ثابت حقيقي.
وهو الحل المطلوب.

المعادلة التفاضلية الخطية

1 فكرة عن “المعادلة التفاضلية الخطية”

اترك تعليقاً إلغاء الرد