معادلة برنولي التفاضلية

معادلة برنولي التفاضلية
(E: Bernoulli’s Differential Eqution)
(T: Bernoulli Diferansiyel Denklemi)

معادلة برنولي هي معادلة من الشكل الآتي:
\[\frac{dy}{dx}+ B(x)\cdot y=C(x)\cdot y^n\]
حيث $B(x)$ و $C(x)$ دالتين تابعتين فقط لـ $x$ .
لحل معادلة برنولي نتبع الخطوات التالية:
1) نقسم طرفي المعادلة على $y^n$ :
\[\frac {1}{y^n}\frac{dy}{dx}+\frac {B(x)}{y^n} \cdot y=\frac {1}{y^n}C(x)\cdot y^n\]
أي أن:
\[\frac {1}{y^n}\frac{dy}{dx}+\frac {B(x)}{y^n} \cdot y=C(x) \]
$$\frac {1}{y^n}\frac{dy}{dx}+\frac {B(x)}{y^{n-1}} =C(x) \tag {*}\label{*}$$
2) نفرض أن:
$$z=\frac {1}{y^{n-1}}=y^{1-n}\tag {1}\label{1}$$
أي أن:
\[\frac{dz}{dy}=(1-n)y^{-n}=\frac{1-n}{y^n}\]
3) نوجد $\frac{dz}{dx}$:
\[\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{1-n}{y^n}\cdot \frac{dy}{dx}\]
$$\frac {1}{y^n}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-n} \cdot \frac{dz}{dx}\tag {2}\label{2}$$
نعوض $\eqref {1}$ و $\eqref {2}$ في $\eqref {*}$نجد
\[\frac{1}{1-n} \cdot \frac{dz}{dx}+B(x)\cdot z=C(x)\]
أي أن:
\[\frac{dz}{dx}+(1-n)B(x)\cdot z=(1-n)C(x)\]
وهي معادلة تفاضلية خطية بالنسبة لـ $z$.

مثال : أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[\frac{dy}{dx}+ \frac 1x\cdot y=y^5\]
الحل:
نلاحظ أن هذه المعادلة معادلة برنولي فيها:
\[B(x)= \frac 1x~,~C(x)=1~,~n=5\]
لحل معادلة برنولي نتبع الخطوات التالية:
1) $y^5$نقسم طرفي المعادلة على .
\[\frac {1}{y^5}\frac{dy}{dx}+\frac 1x\frac { 1}{y^5} \cdot y=\frac {1}{y^5} y^5\]
أي أن:
$$\frac {1}{y^5}\frac{dy}{dx}+\frac 1x\frac {1}{y^4}=1 \tag {**}\label{**}$$
2) نفرض أن:
$$z=\frac {1}{y^{4}}=y^{-4}\tag {3}\label{3}$$
أي أن:
\[\frac{dz}{dy}=-4y^{-5}=-\frac{4}{y^5}\]
3) نوجد $\frac{dz}{dx}$:
\[\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=-\frac{4}{y^5}\cdot \frac{dy}{dx}\]
$$\frac {1}{y^5}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{4} \cdot \frac{dz}{dx}\tag {4}\label{4}$$
نعوض $\eqref {3}$ و $\eqref {4}$ في $\eqref {**}$نجد
\[-\frac{1}{4} \cdot \frac{dz}{dx}+\frac 1x\cdot z=1\]
أي أن:
\[\frac{dz}{dx}-\frac 4x\cdot z=-4\]
وهي معادلة تفاضلية خطية بالنسبة لـ $z$.
نلاحظ أن:
\[B_1(x)= -\frac 4x~,~C_1(x)=-4\]
يعطى حلها بالشكل التالي:
\[I(x) \cdot z= \int I(x) \cdot C_1(x)~dx+c~,~I(x)=e^{\int B_1(x)~dx}\]
\[I(x)=e^{\int -\frac 4x~dx}=e^{-4 \ln x}=x^{-4}\]
وبالتالي :
\[x^{-4} \cdot z= \int x^{-4}(-4)~dx+c=\frac43 x^{-3}+c\]
\[\frac{z}{x^4}=\frac43 x^{-3}+c\]
أي أن:
\[z=\frac43 x+cx^4\]
للرجوع إلى المتغير $y$ نستخدم العلاقة $\eqref {3}$:
\[y^{-4}=\frac43 x+cx^4\]
\[\frac{1}{y^4}=\frac43 x+cx^4\]
حيث $c$ ثابت حقيقي.
وهو الحل المطلوب.