التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)

التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)

يتم حساب التكاملات المعطاة بالشكل الآتي:
\[\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~dx=\frac 1a\arctan \frac xa+c\]
\[\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}|+c\]
حالات خاصة: عندما \(a=1\) فإن:
\[\int \frac{dx}{1+ x^2}=\arctan x+c\]
\[\int \frac {dx}{1-x^2}=\coth ^{-1} x+c=\frac{1}{2} \ln|\frac {1+x}{1-x}|+c\]

مثال1:
\[\int \frac{dx}{4+ x^2}=\frac 12\arctan \frac x2+c\]
مثال 2:
\[\int \frac{dx}{25-x^2}=\frac{1}{10} \ln|\frac{5+x}{5-x}|+c\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)