التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)

التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)

يمكن حساب التكاملات المعطاة بالشكل الآتي:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+c\]
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac xa+c\]
حالات خاصة: عندما \(a=1\) فإن:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=arc \sinh x+c=\ln |x+\sqrt{x^2+ 1}|+c\]
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=arc \cosh x+c=\ln |x+\sqrt{x^2- 1}|+c\]
\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c\]

مثال1:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+ 4}}=\ln |x+\sqrt{x^2+ 4}|+c\]
مثال 2:
\[\int \frac{5dx}{\sqrt{x^2-3}}~=5\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}=5\ln |x+\sqrt{x^2-3}|+c\]
مثال 3:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin \frac x3+c\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري