التكامل بطريقة تغيير المتحول

التكامل بطريقة تغيير المتحول
( T: Değişken Değiştirme Yöntemi )
(E:Integration by Substitution)

يمكن أن نحل بعض أنواع التكامل باستخدام طريقة تغيير المتحول بالشكل الآتي:
\[\int f\left(\varphi (x)\right)\acute \varphi (x)~dx=\int f(t)~dt~\]
لحل التكامل من الشكل:
\[\int f\left(\varphi (x)\right)\acute \varphi (x)~dx\tag{*1}\label{*1}\]
نستخدم الخطوات التالية:
1) نفرض أن :
\[t=\varphi (x)\tag{*2}\label{*2}\]
2) نوجد :
\[dt=\acute \varphi (x)~dx\tag{*3}\label{*3}\]
3) نعوض كل من \(\eqref{*2}\) و \(\eqref{*3}\) في \(\eqref{*1}\) نحصل على تكامل بالمتغير \(t\) :
\[\int f(t)~dt~\]
4) نوجد التكامل السابق.
5) للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل \(\eqref{*2}\) .

مثال1:
أوجد التكامل:
\[\int 2xe^{x^2}~dx\tag{1}\label{1}\]
الحل: يمكن أن نوجد هذا التكامل بطريقة تغيير المتحول بالشكل الآتي:
1) نفرض أن :
\[t=x^2\tag{2}\label{2}\]
2) نوجد :
\[dt=2x~dx\tag{3}\label{3}\]
3) نعوض كل من \(\eqref{2}\) و \(\eqref{3}\) في \(\eqref{1}\) نحصل على تكامل بالمتغير \(t\) :
\[\int e^t~dt~\]
4) نوجد التكامل السابق.
\[\int e^t~dt=e^t+c\]
5) للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل \(\eqref{2}\) .
\[\int 2xe^{x^2}~dx=e^t+c=e^{x^2}+c\]
وهو الحل المطلوب
مثال 2:
أوجد التكامل:
\[\int \frac{2x+1}{x^2+x}~dx\tag{4}\label{4}\]
الحل: يمكن أن نوجد هذا التكامل بطريقة تغيير المتحول بالشكل الآتي:
1) نفرض أن :
\[t=x^2+x \tag{5}\label{5}\]
2) نوجد :
\[dt=(2x+1)~dx\tag{6}\label{6}\]
3) نعوض كل من \(\eqref{5}\) و \(\eqref{6}\) في \(\eqref{4}\) نحصل على تكامل بالمتغير \(t\) :
\[\int \frac{dt}{t}\]
4) نوجد التكامل السابق.
\[\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+c\]
5) للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل \(\eqref{5}\) .
\[\int \frac{2x+1}{x^2+x}~dx=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+c=\ln |x^2+x|+c\]
وهو الحل المطلوب