التكاملات من الشكل $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

التكاملات من الشكل $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

يمكن حساب التكاملات المعطاة بالشكل الآتي:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+c$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac xa+c$$
حالات خاصة: عندما $a=1$ فإن:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=arc \sinh x+c=\ln |x+\sqrt{x^2+ 1}|+c$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=arc \cosh x+c=\ln |x+\sqrt{x^2- 1}|+c$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c$$

مثال1:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+ 4}}=\ln |x+\sqrt{x^2+ 4}|+c$$
مثال 2:
$$\int \frac{5dx}{\sqrt{x^2-3}}~=5\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}=5\ln |x+\sqrt{x^2-3}|+c$$
مثال 3:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin \frac x3+c$$

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري