التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)

لإيجاد هذا التكامل نقوم بتحويل المقام إلى مجموع أو فرق مربي حدين كما يلي:
\[\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac 1a\int \frac{dx}{x^2+\frac ba x+\frac ca}\]
\[=\frac 1a\int \frac{dx}{x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}\]
\[=\frac 1a\int \frac{dx}{{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}\]
وبذلك يكون قد تحول التكامل إلى أحد التكاملات التالية:
\[\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~dx=\frac 1a\arctan \frac xa+c\]
\[\int \frac{dx}{a^2-x^2}~dx=\frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}|+c\]

مثال1:
أوجد التكامل التالي:
\[\int \frac{dx}{x^2+2x+5}\]
الحل:
\[\int \frac{dx}{x^2+2x+5}= \int \frac{dx}{x^2+2 x+1-1+5}\]
\[=\int \frac{dx}{{(x+1)}^2+4}\]
بتطبيق طريقة تغيير المتحول نفرض أن \(t=x+1\) وبالتالي \(dt=dx\) نعوض في التكامل نجد:
\[=\int \frac{dt}{t^2+4}=\frac 12\arctan \frac t2+c\]
للعودة ألى المتغير \(x\) نستخدم التعويض السابق \(t=x+1\):
\[\int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\frac 12\arctan \frac t2+c=\frac 12\arctan \frac {x+1}{2}+c\]
وهو الحل المطلوب.
مثال 2:
أوجد التكامل التالي:
\[\int \frac{dx}{5x^2-3x+1}\]
الحل:
\[\int \frac{dx}{5x^2-3x+1}= \frac 15\int \frac{dx}{x^2-\frac 35 x+\frac 15}\]
\[= \frac 15\int \frac{dx}{x^2-\frac 35 x+\frac {9}{100}-\frac {9}{100}+5}\]
\[= \frac 15\int \frac{dx}{x^2-\frac 35 x+\frac {9}{100}-\frac {491}{100}}\]
\[= \frac 15\int \frac{dx}{{(x-\frac 35 )}^2-\frac {491}{100}}\]
بتطبيق طريقة تغيير المتحول نفرض أن \(t=x-\frac 35 \) وبالتالي \(dt=dx\) نعوض في التكامل نجد:
\[= \frac 15\int \frac{dx}{t^2-\frac {491}{100}}= -\frac 15\int \frac{dx}{\frac {491}{100}-t^2}\]
\[=-\frac 15 \ln|\frac{\sqrt{\frac {491}{100}}+t}{\sqrt{\frac {491}{100}}-t}|+c\]
\[=-\frac 15 \ln|\frac { \frac {\sqrt {491}}{10} +t}{\frac {\sqrt {491}}{10}-t}|+c\]
\[=-\frac 15 \ln|\frac {\sqrt {491}+10t}{\sqrt {491}-10t}|+c\]
للعودة ألى المتغير \(x\) نستخدم التعويض السابق \(t=x-\frac 35\):
\[=-\frac 15 \ln|\frac {\sqrt {491}+10(x-\frac 35)}{\sqrt {491}-10(x-\frac 35)}|+c\]
\[=-\frac 15 \ln|\frac {\sqrt {491}+10x-30}{\sqrt {491}-10x-30}|+c\]
وهو الحل المطلوب.