التكامل بالتجزئة

التكامل بالتجزئة
( T: Kısmi Integral Yöntemi )
(E: Integration by parts)

يمكن أن نحل بعض أنواع التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتجزئة بالشكل الآتي:
\[\int u~dv=uv-\int v~du \tag{*}\label{*}\]
لحل التكامل من الشكل:
\[\int f(x)~dx\]
بطريقة التكامل بالتجزئة نستخدم الخطوات التالية:
1) نفرض أن :
\[f(x)~dx=u~dv\]
ونختار \(u\) و \(dv\) بشكل مناسب.
2) نوجد :
\[du~,~v\]
3) نوجد التكامل:
\[\int v~du \tag{**}\label{**}\]
4) نعوض كل من \(u\) و \(v\) و \(\eqref{**}\)في \(\eqref{*}\).
وهو المطلوب.

مثال1:
أوجد التكامل:
\[\int xe^{x}~dx\]
الحل: يمكن حل هذا التكامل بطريقة التكامل التجزئة:
\[\int u~dv=uv-\int v~du \tag{1}\label{1}\]
باستخدم الخطوات التالية:
1) نفرض أن :
\[xe^{x}~dx=u~dv\]
\[u=x~,~dv=e^x~dx\]
2) نوجد :
\[du=dx~,~v=e^x\]
3) نوجد التكامل:
\[\int v~du=\int e^x~dx=e^x+c_1 \tag{2}\label{2}\]
4) نعوض كل من \(u\) و \(v\) و \(\eqref{2}\)في \(\eqref{1}\).
\[\int xe^{x}~dx=\int u~dv=uv-\int v~du\]
\[=xe^x-(e^x+c_1)=xe^x-e^x+c=(x-1)e^x+c\]
وهو الحل المطلوب
مثال 2:
أوجد التكامل:
\[\int x\sin x~dx\]
الحل: يمكن حل هذا التكامل بطريقة التكامل التجزئة: باستخدم الخطوات التالية:
1) نفرض أن :
\[x\sin x~dx=u~dv\]
\[u=x~,~dv=\sin x~dx\]
2) نوجد :
\[du=dx~,~v=-\cos x\]
3) نوجد التكامل:
\[\int v~du=\int -\cos x~dx=-\sin x+c_1 \tag{3}\label{3}\]
4) نعوض كل من \(u\) و \(v\) و \(\eqref{3}\)في \(\eqref{1}\).
\[\int x\sin x~dx=\int u~dv=uv-\int v~du\]
\[=-x\cos x-(-\sin x+c_1)=-x\cos x+\sin x+c\]
وهو الحل المطلوب