التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)

\[\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx=\frac Aa\int \frac{x+\frac BA}{x^2+\frac ba x+\frac ca}~dx\]
\[=\frac {A}{2a}\int \frac{2x+\frac {2B}{A}}{x^2+\frac ba x+\frac ca}~dx\]
\[=\frac {A}{2a}\int \frac{2x+\frac ba-\frac ba+\frac {2B}{A}}{x^2+\frac ba x+\frac ca}~dx\]
\[=\frac {A}{2a}\int \frac{2x+\frac ba}{x^2+\frac ba x+\frac ca}~dx\]
\[+\frac {A}{2a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{x^2+\frac ba x+\frac ca}\]
\[=\frac {A}{2a} \ln |x^2+\frac ba x+\frac ca|~dx\]
\[+\frac {A}{2a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}\]
\[=\frac {A}{2a} \ln |x^2+\frac ba x+\frac ca|\]
\[+\frac {A}{2a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac ca-\frac{b^2}{4a^2}}\]
لحل التكامل الاخير نستخدم طريقة التكامل بتغيير المتحول:
نفرض أن:
\[u=x+\frac{b}{2a}\]
وبالتالي:
\[du=dx\]
وبالتالي:
\[=\frac {A}{2a} \ln |x^2+\frac ba x+\frac ca|\]
\[+\frac {A}{2a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{du}{u^2+\frac ca-\frac{b^2}{4a^2}}\]
يمكن إيجاد التكامل الأخير حسب المقالة
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~dx~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}~dx\)
للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل:
\[u=x+\frac{b}{2a}\]
وبالتالي نحصل على حل التكامل المطلوب.

مثال1:
أوجد حل التكامل التالي:
\[\int \frac{3x+1}{4x^2+x+3}~dx\]
الحل:
\[\int \frac {3x+1}{4x^2+x+3}~dx=\frac 34\int \frac{x+\frac13}{x^2+\frac x 4+\frac 3 4}~dx\]
\[=\frac 38\int \frac{2x+\frac23}{x^2+\frac x 4+\frac 3 4}~dx\]
\[=\frac 38\int \frac{2x+\frac 14-\frac 14+\frac23}{x^2+\frac x 4+\frac 3 4}~dx\]
\[=\frac 38\int \frac{2x+\frac 14}{x^2+\frac x 4+\frac 3 4}~dx\]
\[+\frac 38 (-\frac 14+\frac23)\int \frac{dx}{x^2+\frac x 4+\frac {1}{16}-\frac {1}{16}+\frac 3 4}\]
\[=\frac 38\ln |x^2+\frac x 4+\frac 3 4|+\frac{15}{96}\int \frac {dx}{ (x +\frac {1}{4})^2+\frac {11}{16}}\]
لحل التكامل الاخير نستخدم طريقة التكامل بتغيير المتحول:
نفرض أن:
\[u=x +\frac {1}{4}\]
وبالتالي:
\[du=dx\]
وبالتالي:
\[=\frac 38\ln |x^2+\frac x 4+\frac 3 4|+\frac{15}{96}\int \frac {du}{ u^2+\frac {11}{16}}\]
يمكن إيجاد التكامل الأخير حسب المقالة
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~dx~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}~dx\)
وبالتالي:
\[=\frac 38\ln |x^2+\frac x 4+\frac 3 4|\]
\[+\frac{15}{96}\frac{1}{\sqrt{\frac{11}{16}}}\arctan \frac {u}{ \sqrt{\frac{11}{16}}}+c\]
\[=\frac 38\ln |x^2+\frac x 4+\frac 3 4|+\frac{5}{8\sqrt {11}} \arctan \frac {4u}{ \sqrt{11}}+c\]
للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل:
\[u=x +\frac {1}{4}\]
وبالتالي:
\[=\frac 38\ln |x^2+\frac x 4+\frac 3 4|+\frac{5}{8\sqrt {11}} \arctan \frac {4(x +\frac {1}{4})}{ \sqrt{11}}+c\]
\[=\frac 38\ln |x^2+\frac x 4+\frac 3 4|+\frac{5}{8\sqrt {11}} \arctan \frac {4x +1}{ \sqrt{11}}+c\]
وهو حل التكامل المطلوب.