التكاملات من الشكل $\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx$

في هذا التكامل $p(x)$ هي كثيرة حدود من الشكل:
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R\]
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
أولاً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=p(x)~~,~~dv=\sin(ax)~dx
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \cos (ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=p(x)~~,~~dv=\cos(ax)~dx
}
$$

مثال: أوجد حل التكامل:
\[\int x^2\sin x~dx\]
الحل: هذا التكامل يحل بطريقة التكامل بالتجزئة. نفرض أن:
\[u=x^2 \Rightarrow du=2x~dx\]
\[dv=\sin x~dx \Rightarrow v=-\cos x\]
وبالتالي:
\[\int x^2\sin x~dx=uv-\int v~du\]
\[=x^2(-\cos x)-\int (-\cos x) 2x~dx\]
\[=-x^2\cos x+2\int x \cos x~dx\]
لحل التكامل الأخير أيضاً نستخدم التكامل بالتجزئة:
نفرض أن
\[u_1=x \Rightarrow du_1=dx\]
\[dv_1=\cos x~dx \Rightarrow v_1=\sin x\]
وبالتالي:
\[\int x \cos x~dx=u_1v_1-\int v_1du_1=x \sin x-\int \sin x~dx\]
\[=x \sin x+\cos x+c\]
وبالتالي :
\[\int x^2\sin x~dx=-x^2\cos x+2\int x \cos x~dx\]
\[=-x^2\cos x+2(x \sin x+\cos x+c)\]
\[=-x^2\cos x+2x \sin x+2\cos x+2c\]
\[=(2-x^2)\cos x+2x \sin x+c_1\]
وهو حل التكامل المطلوب.