التكامل من الشكل $\int p(x)\cdot e^{ax}~dx$

في هذا التكامل $p(x)$ هي كثيرة حدود من الشكل:
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R\]
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=p(x)~~,~~dv=e^{ax}~dx
}
$$

مثال1: أوجد حل التكامل:
\[\int x^3e^x~dx\]
الحل:
لحل هذا التكامل نستخدم طريقة التكامل بالتجزئة بالشكل الآتي:
\[u=x^3 \Rightarrow du=3x^2~dx\]
\[dv=e^x~dx\Rightarrow v=e^x\]
وبالتالي:
\[\int x^3e^x~dx=uv-\int vdu\]
\[=x^3e^x-3\int x^2e^x~dx\]
أي أن:
$$\int x^3e^x~dx=x^3e^x-3\int x^2e^x~dx \tag {e1}\label {e1} $$
لحل التكامل الأخير أيضاً نستخدم طريقة التكامل بالتجزئة:
\[u_1=x^2 \Rightarrow du_1=2x~dx\]
\[dv_1=e^x~dx\Rightarrow v_1=e^x\]
وبالتالي:
\[\int x^2e^x~dx=u_1v_1-\int v_1du_1\]
\[=x^2e^x-2\int xe^x~dx\]
أي أن:
$$\int x^2e^x~dx=x^2e^x-2\int xe^x~dx \tag {e2}\label {e2} $$
أيضاً لحل التكامل الأخير نستخدم التكامل بالتجزئة:
\[u_2=x\Rightarrow du_2=dx\]
\[dv_2=e^x~dx\Rightarrow v_2=e^x\]
وبالتالي:
\[\int xe^x~dx=u_2v_2-\int v_2du_2\]
\[=xe^x-\int e^x~dx=xe^x-e^x+c\]
أي أن:
$$\int xe^x~dx=xe^x-e^x+c \tag {e3}\label {e3} $$
نعوض $\eqref {e3}$ في $\eqref {e2}$ نجد:
\[\int x^2e^x~dx=x^2e^x-2(xe^x-e^x+c)\]
\[=x^2e^x-2xe^x+2e^x-2c\]
أي أن:
$$\int x^2e^x~dx=x^2e^x-2xe^x+2e^x-2c \tag {e4}\label {e4} $$
نعوض $\eqref {e4}$ في $\eqref {e1}$ نجد:
\[\int x^3e^x~dx=x^3e^x-3\int x^2e^x~dx\]
\[=x^3e^x-3(x^2e^x-2xe^x+2e^x-2c)\]
\[=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+6c\]
\[=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+c_1\]
أي أن:
\[\int x^3e^x~dx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+c_1\]
وهو حل التكامل المطلوب.