الشكل الأسي للعدد العقدي

الشكل الأسي للعدد العقدي
(T: Karmaşık Sayıların Üstel Gösterimi)
(E: Exponential Representation of Complex Numbers)

ليكن لدينا العدد العقدي
\[Z=x+iy\]
ولتكن $|Z|$ طويلة العدد العقدي و $arg Z$ سعة هذا العدد العقدي عندئذٍ وجدنا أنه يمكن كتابة العدد العقدي $|Z|$ بالشكل المثلثي بالشكل التالي :
\[Z=r \left( \cos \theta +i \sin \theta\right)\]
وبحسب علاقة أولر (T: Euler Formülü) (E: Euler Formula):
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
e^{i\theta}= \cos \theta+i \sin \theta
}
$$
نجد أن:
\[Z=r \left( \cos \theta+i \sin \theta\right)\]
أي أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
Z=re^{i\theta}
}
$$
وهو الشكل الأسي للعدد العقدي $Z$ .

مثال: أوجد الشكل الأسي للعدد العقدي:
\[Z=1+1i\]
الحل:
\[r=|z|=\sqrt {x^2+y^2}=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt 2\]
\[argZ=\arctan (\frac{y}{x})=\arctan (\frac11)=\arctan (1)=\frac{\pi}{4}\]
وبالتالي:
\[Z=re^{i\theta}=\sqrt 2 e^\frac{\pi}{4}\]
وهو الشكل الأسي للعدد العقدي $Z=1+1i$