تركيب تابعين

تركيب تابعين
(T: Bileşke Fonksiyon)
(E: Composite Function)
(E: The Composition of Two Functions)

لتكن لدينا التابعين:
\[f: A \rightarrow B : x \mapsto f(x)\]
\[g: B \rightarrow C : x \mapsto g(x)\]
عندئذٍ تركيب التابعين \(g\) و \(f\) هو تابع جديد نرمز له بالرمز \(g \circ f\) يعطى بالشكل:
\[g \circ f :A \rightarrow C : x \mapsto (g \circ f) (x)=g\left(f(x)\right)\]
ملاحظة 1: إن شرط\(g \circ f\) هو أن يكون منطلق \(g\) هو مستقر \(f\) ونقول أن \(g\) يلي \(f\) أي أن \(g\) يأتي بعد \(f\) .
ملاحظة 2: عملية تركيب تابعين ليست بالضرورة عملية تبديلية (T: Değişme Özeliği) (E:Commutative) أي أنه بشكل عام:
\[g \circ f \neq f \circ g\]
ملاحظة 3: عملية تركيب التوابع عملية تجميعية  (T: Birleşme Özeliği) (E:Associative) أي أن:
\[f \circ (g\circ h) =( f \circ g) \circ h\]

مثال: أوجد تركيب التابعين:
\[f: \Bbb R \rightarrow \Bbb R^+ : x \mapsto e^x\]
\[g: \Bbb R^+ \rightarrow \Bbb R : x \mapsto \sqrt{x^2+1}\]
الحل
\[(g \circ f) (x)=g\left(f(x)\right)=g\left(e^x\right)=\sqrt{(e^x)^2+1}=\sqrt{e^{2x}+1}\]
أي أن:
\[g \circ f :\Bbb R \rightarrow \Bbb R : x \mapsto (g \circ f) (x)=\sqrt {e^{2x}+1}\]
أيضاً لدينا:
\[( f\circ g) (x)=f\left(g(x)\right)=f\left(\sqrt {x^2+1}\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}\]
أي أن:
\[f \circ g :\Bbb R^+ \rightarrow \Bbb R^+ : x \mapsto (f \circ g) (x)=e^{\sqrt{x^2+1}}\]

مقالات ذات صلة:
تعريف التابع
العمليات على التوابع