التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx\)\(\int p(x)\cdot\ \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx\)

التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx\)
\(\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx\)

في هذا التكامل \(p(x)\) هي كثيرة حدود من الشكل:
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R\]
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
أولاً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=\arcsin(ax)~~,~~dv=p(x)~dx
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \arccos (ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=\arccos (ax)~~,~~dv=p(x)~dx
}
$$
ثالثاً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=\arctan(ax)~~,~~dv=p(x)~dx
}
$$
رابعاً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \arccos (ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=arc\cot(ax)~~,~~dv=p(x)~dx
}
$$

مثال1: أوجد حل التكامل التالي:
\[\int x \arctan x~dx\]
الحل:
نفرض أن:
\[u=\arctan x~~,~~dv=x~dx\]
وبالتالي:
\[du=\frac{dx}{1+x^2}~,~v=\frac 12 x^2\]
أي أن:
\[\int x \arctan x~dx=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12\int \frac{x^2}{1+x^2}~dx\]
\[=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}~dx\]
\[=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12\int (1-\frac{1}{1+x^2})~dx\]
\[=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12x+\frac 12\int \frac{1}{1+x^2}~dx\]
\[=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12x+\frac 12\arctan x +c\]
\[=\frac 12 (x^2+1) \arctan x-\frac 12x+c\]
مثال2: أوجد حل التكامل التالي:
\[\int x^2 \arcsin x~dx\]
الحل:
نفرض أن:
\[u=\arcsin x~~,~~dv=x^2~dx\]
وبالتالي:
\[du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}~,~v=\frac 13 x^3\]
أي أن:
\[\int x^2 \arcsin x~dx=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}~dx\]
\[=\frac 13 x^3 \arcsin x+\frac 13\int \frac{x(-1+1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx\]
\[=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[+\frac 13\int \frac{x(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx\]
\[=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13\int x(1-x^2)^\frac {-1}{2}~dx\]
\[+\frac 13\int x(1-x^2)^\frac 12~dx\]
التكاملات الاخيرة نحلها بطريقة تغيير المتحول بالشكل التالي:
\[t=1-x^2 \Rightarrow dt=-2xdx\]
\[\int x(1-x^2)^\frac {-1}{2}~dx=-\frac 12 \int t^\frac {-1}{2}~dt\]
\[=-t^\frac 12=-(1-x^2)^\frac 12 \]
\[\int x(1-x^2)^\frac 12~dx=-\frac 12 \int t^\frac 12~dt\]
\[=-\frac 13 t^\frac 32=-\frac 13 (1-x^2)^\frac 32\]
وبالتالي:
\[\int x^2 \arcsin x~dx=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13(-(1-x^2)^\frac 12 )\]
\[+\frac 13(-\frac 13 (1-x^2)^\frac 32)+c\]
\[=\frac 13 x^3 \arcsin x+\frac 13(1-x^2)^\frac 12 \]
\[-\frac 19 (1-x^2)^\frac 32+c\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot e^{ax}~dx\)