التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot \ln (ax)~dx\)

التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot \ln (ax)~dx\)

في هذا التكامل \(p(x)\) هي كثيرة حدود من الشكل:
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R\]
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=\ln (ax)~~,~~dv=p(x)~dx
}
$$

مثال: أوجد حل التكامل:
\[\int x^2 \ln x~dx\]
الحل:
نفرض أن:
\[u=\ln x~~,~~dv=x^2~dx\]
وبالتالي:
\[du=\frac 1x~dx~~,~~v=\frac 13 x^3\]
وبالتالي:
\[\int x^2\ln x~dx=\frac 13 x^3\ln x-\frac 13\int x^3\frac 1x~dx\]
\[=\frac 13 x^3\ln x-\frac 13\int x^2~dx\]
\[=\frac 13 x^3\ln x-\frac 19 x^3+c\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot e^{ax}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx\)
\(\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx\)