مجموع فضاءين خطيين جزئيين – المجموع المباشر

مجموع فضاءين خطيين جزئيين
(T: Lineer Alt Uzaylarin Toplamı)
(E: Sum of Two Linear Subspace)

ليكن \(X\) فضاء خطي على الحقل \(F\) مع عملتي الجمع والضرب الآتيتن:
1) عملية جمع عنصرين من \(X\) أي \(\forall u,v \in X: u+v \in X\).
2) عملية ضرب عنصر من \(X\) بعدد من الحقل \(F\) أي \(\forall u \in X;\forall \lambda \in F: \lambda. u \in X\)
وليكن \(X_1 \subseteq X\) و \(X_2 \subseteq X\) فضائين جزئيين من الفضاء الخطي \(X\) عندئذٍ نقول عن المجموعة:
\[\{u+v~:~u \in X_1 , v \in X_2\}\]
بأنها مجموع الفضاءين الخطيين الجزئيين \(X_1\) و \(X_2\)نرمز لها بالرمز \(X_1+X_2\) .
ملاحظة: الفضاء \(X_1+X_2\) هو فضاء جزئي من الفضاء الخطي \(X\).

المجموع المباشر لفضاءين خطيين جزئيين
(T: Lineer Alt Uzaylarin Direkt Toplamı)
(E: Direct Sum of Two Linear Subspace)

ليكن \(X\) فضاء خطي على الحقل \(F\) وليكن \(X_1 \subseteq X\) و \(X_2 \subseteq X\) فضائين جزئيين من الفضاء الخطي \(X\) عندئذٍ نقول عن الفضاء \(X\) أنه جمع مباشر للفضاءين \(X_1\) و \(X_2\) إذا كان أي عنصر \(x\in X\) يكتب بصورة واحدة وواحدة فقط بالشكل الآتي:
\[\{x=u+v~:~u \in X_1 , v \in X_2\}\]
ونرمز للمجموع المباشر بالرمز \(X_1\oplus X_2\).
أي أنه يوجد عنصر وحيد \(u \in X_1\) وعنصر وحيد \(v \in X_2\) بحيث أن:
\[x=u+v\]
ملاحظة: يكون الفضاء \(X\) مجموع مباشر للفضائيين الجزئيين \(X_1\) و \(X_2\) إذا وفقط إذا كان:
1) \( X_1 \cup X_2 =X~~~~\)
2) \( X_1 \cap X_2 =\emptyset~~~~\)

مقالات ذات صلة:
الفضاء الخطي أو الفضاء المتجهي
تعريف الحقل
الفضاء الخطي الجزئي