الاستقراء الرياضي

الاستقراء الرياضي
(T:Matematiksel Tümevarım )
(E: Mathematical Induction )

نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي من اجل اثبات علاقات تتعلق بالعدد الطبيعي \(n\in \Bbb N\) ولاستخدام هذه الطريقة نقوم بالخطوات التالية:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل أصغر عدد طبيعي مثلا \(n=1\).
2) نفرض صحة العلاقة من أجل \(k\) .
3) نثبت صحة العلاقة من أجل \(k+1\) .
عندها تكون العلاقة صحيحة من أجل \(n \ge 1\) .
ملاحظة: من أجل \(n \in \Bbb N\) يمكن إثبات صحة العلاقات التالية باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي:
1) \[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
2)\[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
3) \[1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
4) \[2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)\]
5) \[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\]
6) \[\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot (n+1)}=\frac{n}{n+1}\]
7) \[1+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}\ge \sqrt n\]
8) \[\forall n \ge 2: n!\lt n^n\]
9) \[\forall n \ge 4: 2^n\lt n!\]
10) \[\forall n \ge 3: 2^n\gt 2n+1\]
11) \[\forall x \ge 0 , n \in \Bbb N : (1+x)^n \ge 1+nx \]

مثال 1: أثبت صحة العلاقة:
\[ \forall n \in \Bbb N:1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
الحل:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل \(n=1\) :
\[1=\frac{1(2)}{2}=1\]
أي أن العلاقة صحيحة من أجل \(n=1\) .
2) نفرض صحة العلاقة من أجل \(k\) أي أن:
\[1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\]
3) نثبت صحة العلاقة من أجل \(k+1\) :
\[1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+k+1\]
\[=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\]
\[=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\]
أي أن العلاقة صحيحة من أجل \(k+1\).
وبالتالي بحسب طريقة الاستقراء الرياضي فإن العلاقة المعطاة محققة.
مثال 2: أثبت صحة العلاقة:
\[n!\lt n^n\]
من أجل \(n\ge 2\) .
الحل:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل \(n=2\) :
\[2!=2 \lt 2^2=4\]
أي أن العلاقة صحيحة من أجل \(n=2\) .
2) نفرض صحة العلاقة من أجل \(k\) أي أن:
\[k! \lt k^k\]
3) نثبت صحة العلاقة من أجل \(k+1\) :
\[(k+1)!=(k+1)\cdot k! \lt (k+1)\cdot k^k \]
\[\lt (k+1)(k+1)^k=(k+1)^{k+1}\]
أي أن العلاقة صحيحة من أجل \(k+1\).
وبالتالي بحسب طريقة الاستقراء الرياضي فإن العلاقة المعطاة محققة مهما كانت \(n \ge 2\) .
مثال 3: أثبت صحة العلاقة:
\[\forall n \gt 4: 2^n\lt n!\]
الحل:
1) نثبت صحة العلاقة من أجل \(n=4\) :
\[2^4=16 \lt 4!=24\]
أي أن العلاقة صحيحة من أجل \(n=4\) .
2) نفرض صحة العلاقة من أجل \(k\) أي أن:
\[ 2^k\lt k!\]
3) نثبت صحة العلاقة من أجل \(k+1\) :
\[2^{k+1}=2\cdot 2^k \lt 2 \cdot k! \lt (k+1) \cdot k!=(k+1)!\]
أي أن العلاقة صحيحة من أجل \(k+1\).
وبالتالي بحسب طريقة الاستقراء الرياضي فإن العلاقة المعطاة محققة مهما كانت \(n \ge 4\) .