قاعدة أوبيتال

قاعدة أوبيتال
(T: L’ Hospital Kuralı)
(E: L’ Hospital rule)

ليكن لدينا \(a \in \Bbb R \cup \{-\infty,+\infty \}\)وليكن:
\[U_\epsilon(a)=]a-\epsilon,a+\epsilon[\]
جوار لـ \(a\) حيث \(\epsilon\) عدد موجب اختياري. وليكن لدينا التابعين:
\[f: U_\epsilon(a) \rightarrow \Bbb R~~,~~g: U_\epsilon(a) \rightarrow \Bbb R \]
عندئذٍ إذا كان:
1) \(\forall x \in U_\epsilon(a): g(x) \neq 0 \)
2) \[\lim_{x \rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)}=\frac 00~~~~أو~~~~\lim_{x \rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)}=\frac {\pm \infty}{\pm \infty}\]
3) \(f(x)\) و \(g(x)\) قابلين للاشتقاق على \(U_\epsilon(a)\)
4) \(\forall x \in U_\epsilon(a): \acute g(x) \neq o \)
فإن:
\[\lim_{x \rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)}= \lim_{x \rightarrow a} \frac {\acute f(x)}{\acute g(x)}\]
ملاحظة : يمكن تعميم قاعدة أوبيتال بالشكل التالي:
\[\lim_{x \rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)}= \lim_{x \rightarrow a} \frac {\acute f(x)}{\acute g(x)}=\cdots =\lim_{x \rightarrow a} \frac {f^{(n)}(x)}{ g^{(n)}(x)}\]
أي أننا نستمر بالاشتقاق حتى نتخلص من حالة عدم التعيين \(\frac 00\) أو \(\frac {\pm \infty}{\pm \infty}\).