المعادلة التفاضلية على الصورة \(y=F(x,\acute y)\)

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية من الشكل:
\(y=F(x,\acute y) \tag{*1}\label{*1}\)
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[y=F(x,p) \]
2) نفاضل بالنسبة لـ \(x\) :
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial p}\cdot \frac{dp}{dx}\]
\[p=F_2(x,p,\frac{dp}{dx})\]
وهي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى بالنسبة لـ \(p\) و \(x\) يمكن حلها حسب الطرق السابقة وليكن حلها بالشكل:
\(x=G(p,c) \tag{*2}\label{*2}\)
3) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*1}\) و \(\eqref {*2}\) :
\(y=F(G(p,c),p) ~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*1}\)
\(x=G(p,c) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*2}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.

مثال: أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[\sqrt x y+\acute y^2=0\]
الحل:
يمكن كتابة المعادلة المعطاة بالشكل:
\[y=-\frac{1}{\sqrt x}\acute y^2\]
ولحلها نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[y=-\frac{1}{\sqrt x}p^2 \tag{*3}\label{*3}\]
\[F(x,p)=-\frac{1}{\sqrt x}p^2\]
2) نفاضل بالنسبة لـ \(x\) :
\[\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac12p^2x^{-\frac32}=\frac{p^2}{2x\sqrt x}\]
\[\frac{\partial F}{\partial p}=-\frac{2p}{\sqrt x}\]
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial p}\cdot \frac{dp}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx}=\frac{p^2}{2x\sqrt x}-\frac{2p}{\sqrt x} \frac{dp}{dy}\]
\[p=\frac{p^2}{2x\sqrt x}-\frac{2p}{\sqrt x} \frac{dp}{dy}\]
\[1=\frac{p}{2x\sqrt x}-\frac{2}{\sqrt x} \frac{dp}{dy}\]
\[2 \frac{dp}{dy}-\frac{p}{2x}=-\sqrt x\]
\[ \frac{dp}{dy}-\frac{1}{4x}p =-\frac{\sqrt x}{2}\]
وهي معادلة تفاضلية خطية من الشكل التالي:
\[\frac{dp}{dx}+ B(x)\cdot p=C(x)\]
يعطى حلها بالشكل التالي:
\[I(x) \cdot p= \int I(x) \cdot C(x)~dx+c~,~I(x)=e^{\int B(x)~dx}\]
\[I(x)=e^{\int B(x)~dx}=e^{-\frac 14{\int \frac{1}{x}~dx}}=e^{-\frac 14\ln x}=x^{-\frac 14}\]
\[x^{-\frac 14} \cdot p= \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \cdot (-\frac{\sqrt x}{2})~dx+c\]
\[x^{-\frac 14} \cdot p=-\frac 12 \int x^{\frac 14}~dx+c\]
\[x^{-\frac 14} \cdot p=-\frac 12 (\frac 45)x^{\frac 54}+c\]
\[x^{-\frac 14} \cdot p=-\frac 25x^{\frac 54}+c\]
\[ p=-\frac 25x^{\frac 32}+cx^{\frac14}\]
3) بالتعويض في المعادلة \(\eqref {*3}\) نجد أن:
\[y=-\frac{1}{\sqrt x}(-\frac 25x^{\frac 32}+cx^{\frac14})^2\]
وهو الحل المطلوب حيث \(c\) ثابت اختياري.