المعادلة التفاضلية على الصورة \(y=f(\acute y)\)

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية من الشكل:
\(y=f(\acute y) \)
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[y=f(p) \tag{*10}\label{*10}\]
2) نفاضل \(y\):
\[dy=\acute f(p)~dp\]
3)
\[x=\int dx+c=\int \frac{dy}{\frac{dy}{dx}}+c\]
\[x=\int \frac{dy}{\acute y}+c=\int \frac{\acute f(p)}{p}~dp+c\]
\[x=g(p,c)\tag{*11}\label{*11}\]
4) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*10}\) و \(\eqref {*11}\) :
\(y=f(p) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*10}\)
\(x=g(p,c)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*11}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.

مثال: أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[y=\sqrt{\acute y}+2\]
الحل:
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[y=\sqrt p+2 \tag{*12}\label{*12}\]
2) نفاضل \(y\):
\[dy=\acute f(p)~dp=\frac{1}{2\sqrt p}~dp\]
3)
\[x=\int dx+c=\int \frac{dy}{\frac{dy}{dx}}+c\]
\[x=\int \frac{dy}{\acute y}+c=\int \frac{\acute f(p) }{p}~dp+c\]
\[x=\int \frac{\frac{1}{2\sqrt p}}{p}~dp+c=\frac12\int p^{-\frac 32}~dp\]
\[x=\frac12(-2)p^{-\frac12}+c\]
\[x=-\frac {1}{\sqrt p}+c \tag{*13}\label{*13}\]
4) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*10}\) و \(\eqref {*11}\) :
\(y=\sqrt p+2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*12}\)
\(x=-\frac {1}{\sqrt p}+c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*13}\)
ويمكن حذف الوسيط (البارامتر) \(p\) والحصول على الحل العام بدلالة \(x\) و \(y\) فقط بالشكل التالي:
\[\sqrt p=y-2\Rightarrow x=\frac{1}{2-y}+c\]
حيث \(c\) ثابت اختياري.