معادلة دالامبير - لاغرانج \(y=xg(\acute y)+h(\acute y) \)

معادلة دالامبير – لاغرانج
(E: d Alembert – Lagrange Equation )
(T: d Alembert – Lagrange Denklemi )
\(y=xg(\acute y)+h((\acute y) \)

وهي معادلة تفاضلية من الشكل:
\[y=xg(\acute y)+h(\acute y) \]
وهي حالة خاصة من الحالة:
\[y=f(x,\acute y) \]
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\(y=xg(p)+h(p) \tag{*16}\label{*16}\)
2) نفاضل بالنسبة لـ \(x\):
\[\frac{dy}{dx}=g(p)+x\frac{dg(p)}{dx}+\frac{dh(p)}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx}=g(p)+x\frac{dg(p)}{dp}\frac{dp}{dx}+\frac{dh(p)}{dp}\frac{dp}{dx}\]
\[p=g(p)+x\acute g(p)\frac{dp}{dx}+\acute h(p)\frac{dp}{dx}\]
\[p~dx=g(p)~dx+x\acute g(p)~dp+\acute h(p)~dp\]
\[(p-g(p))~dx=x\acute g(p)~dp+\acute h(p)~dp\]
\[(p-g(p))\frac{dx}{dp}=\acute g(p)x+\acute h(p)\]
\[\frac{dx}{dp}-\frac{\acute g(p)}{(p-g(p))}x=\frac{\acute h(p)}{(p-g(p))}\]
وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى بالنسبة لـ \(x\)و \(p\)وليكن حلها يعطى بالشكل:
\[x=k(p,c)\tag{*17}\label{*17}\]
3)
الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*16}\) و \(\eqref {*17}\) :
\(y=xg(p)+h(p) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*16}\)
\(x=k(p,c)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*17}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.