معادلة كلييرو \(y=x\acute y+h(\acute y) \)

معادلة كلييرو
(E: Clairout Equation )
(T: Clairout Denklemi )
\(y=x\acute y+h(\acute y) \)

وهي معادلة تفاضلية من الشكل:
\[y=x\acute y+h(\acute y) \]
وهي حالة خاصة من معادلة دالامبير – لاغرانج :
\[y=xg(\acute y)+h(\acute y) \]
حيث \(g(p)=p\):
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\(y=xp+h(p) \tag{*18}\label{*18}\)
2) نفاضل بالنسبة لـ \(x\):
\[\frac{dy}{dx}=p+x\frac{dp}{dx}+\frac{dh(p)}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx}=p+x\frac{dp}{dx}+\frac{dh(p)}{dp}\frac{dp}{dx}\]
\[p=p+x\frac{dp}{dx}+\acute h(p)\frac{dp}{dx}\]
\[(x+\acute h(p))\frac{dp}{dx}=0\]
3) في حالة:
\[\frac{dp}{dx}=0\]
فإن \(p=c\) أي أن الحل العام لمعادلة كلييرو هو:
\[y=xc+h(c) \]
في حالة :
\(x+\acute h(p)=0\tag{*19}\label{*19}\)
فإن الحل العام لمعادلة كليرو يعطى بالصورة البارامترية بالمعادلتين التاليتين:
\(y=xp+h(p) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*18}\)
\(x+\acute h(p)=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*19}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.