التكامل من الشكل \(\int \sqrt {a^2\pm x^2}~dx\)
أولاً: من أجل التكامل:
\[I_1=\int \sqrt {a^2+x^2}~dx\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضرب البسط والمقام بالمقدار \(\sqrt {a^2+x^2}\):
\[I_1=\int \sqrt {a^2+x^2}~dx=\int \sqrt {a^2+x^2}\frac{\sqrt {a^2+x^2}}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2+x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx+\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=a^2\int\frac{dx}{\sqrt {a^2+x^2}}+\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+J_1\]
أي أن:
\[I_1=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+J_1\tag{*40}\label{*40}\]
2) التكامل \(J_1\) يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_1=\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx=\int x\frac{x}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx=\frac 12\frac{2x}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=\frac 12 (2x){(a^2+x^2)}^{-\frac12}~dx\]
\[\Rightarrow v={(a^2+x^2)}^{-\frac12+1}=\sqrt{a^2+x^2}\]
وبالتالي فإن:
\[J_1=x\sqrt{a^2+x^2}-\int \sqrt{a^2+x^2}~dx\]
أي أن:
\[J_1=x\sqrt{a^2+x^2}-I_1 \tag{*41}\label{*41} \]
3) نعوض \(\eqref{*41}\) في \(\eqref{*40}\) نجد أن:
\[I_1=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+x\sqrt{a^2+x^2}-I_1 \]
أي أن:
\[2I_1=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+x\sqrt{a^2+x^2} \]
\[I_1=\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+\frac x2\sqrt{a^2+x^2} \]
وبالتالي:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
\int \sqrt {a^2+x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+\frac x2\sqrt{a^2+x^2}+c
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[I_2=\int \sqrt {a^2-x^2}~dx\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضرب البسط والمقام بالمقدار \(\sqrt {a^2-x^2}\):
\[I_2=\int \sqrt {a^2-x^2}~dx=\int \sqrt {a^2-x^2}\frac{\sqrt {a^2-x^2}}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2-x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx-\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=a^2\int\frac{dx}{\sqrt {a^2-x^2}}-\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=a^2\arcsin \frac xa-J_2\]
أي أن:
\[I_2=a^2\arcsin \frac xa-J_2\tag{*42}\label{*42}\]
2) التكامل \(J_2\) يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_2=\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx=\int x\frac{x}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx=-\frac 12\frac{-2x}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=-\frac 12 (-2x){(a^2-x^2)}^{-\frac12}~dx\]
\[\Rightarrow v=-{(a^2-x^2)}^{-\frac12+1}=-\sqrt{a^2-x^2}\]
وبالتالي فإن:
\[J_2=-x\sqrt{a^2-x^2}+\int \sqrt{a^2-x^2}~dx\]
أي أن:
\[J_2=-x\sqrt{a^2-x^2}+I_2 \tag{*43}\label{*43} \]
3) نعوض \(\eqref{*43}\) في \(\eqref{*42}\) نجد أن:
\[I_2=a^2\arcsin \frac xa+x\sqrt{a^2-x^2}-I_2\]
أي أن:
\[2I_2=a^2\arcsin \frac xa+x\sqrt{a^2-x^2} \]
\[I_2=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2} \]
وبالتالي:
$$ \bbox[5px,border:2px solid orange]
{
\int \sqrt {a^2-x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+c
}
$$
مثال 1: أوجد حل التكامل:
\[I=\int \sqrt {4+x^2}~dx\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
\int \sqrt {a^2+x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+\frac x2\sqrt{a^2+x^2}+c
}
$$
وبالتالي:
\[I=\int \sqrt {4+x^2}~dx=2\ln |x+\sqrt{4+x^2}|+\frac x2\sqrt{4+x^2}+c\]
مثال 2: أوجد حل التكامل:
\[I=\int \sqrt {4-x^2}~dx\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid orange]
{
\int \sqrt {a^2-x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+c
}
$$
وبالتالي:
\[I=\int \sqrt {4-x^2}~dx=2\arcsin \frac x2+\frac x2\sqrt{4-x^2}+c\]
مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot e^{ax}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx\)
\(\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot \ln (ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int e^{ax}\sin bx~dx~,~\int e^{ax}\cos bx~dx\)
معيار المقارنة للمتسلسلات
معيار المقارنة للمتسلسلات(E: The Comparison Test)(T: Karşılaştırma Testi) لتكن لدينا المتسلسلتان:\[\…
المعيار الصفري لتقارب متسلسلة
المعيار الصفري لتقارب متسلسلة لتكن لدينا المتسلسلة:\[\sum^\infty_{k=1}a_k\]إذا كان :\[\lim_{k \right…
المتسلسلة الهندسية
المتسلسلة الهندسية(E: Geometric Series)(T: Geometrik Seri ) وهي متسلسلة من الشكل:\[\sum^\infty_{k=1}…
المتسلسلة الريمانية
المتسلسلة الريمانية(E: Harmonic Series)(T: Harmonik Seri ) وهي متسلسلة من الشكل:\[\sum^\infty_{k=1}\…
العمليات على المتسلسلات
العمليات على المتسلسلات(E: Operations on Series)(T: Seriler Üzerinde İşlemler) لتكن لدينا المتسلسلتا…