التكامل من الشكل $\int \frac{dx}{(1\pm x^2)^n}$

أولاً: من أجل التكامل:
\[I_1(n)=\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضيف ونطرح المقدار للبسط $x^2$:
\[I_1(n)=\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\int \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}-\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=I_1(n-1)-\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=I_1(n-1)-J_1\]
أي أن:
\[I_1(n)=I_1(n-1)-J_1 \tag{*44}\label{*44} \]
2) التكامل $J_1$ يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_1=\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx=\int x\frac{x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{(1+x^2)^n}~dx=\frac 12\frac{2x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=\frac 12 (2x){(1+x^2)}^{-n}~dx\]
\[\Rightarrow v=\frac{1}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}\]
وبالتالي فإن:
\[J_1=\frac{x}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)}\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}\]
أي أن:
\[J_1=\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)}I_1(n-1)\tag{*45}\label{*45} \]
3) نعوض $\eqref{*45}$ في $\eqref{*44}$ نجد أن:
\[I_1(n)=I_1(n-1)-\frac{x}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_1(n-1)\]
\[I_1(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_1(n-1)-\frac{x}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}\]
أي أن:

$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
I_1(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_1(n-1)-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1+x^2)}^{n-1}}
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[I_2(n)=\int \frac{dx}{(1-x^2)^n}\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضيف ونطرح المقدار للبسط $x^2$:
\[I_2(n)=\int\frac{dx}{(1-x^2)^n}=\int \frac{1-x^2+x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=\int \frac{dx}{(1-x^2)^{n-1}}+\int\frac{x^2}{(1-x^2)^n}~dx\]
\[=I_2(n-1)+\int\frac{x^2}{(1-x^2)^n}~dx\]
\[=I_2(n-1)+J_2\]
أي أن:
\[I_2(n)=I_2(n-1)+J_1 \tag{*46}\label{*46} \]
2) التكامل $J_2$ يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_1=\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx=\int x\frac{x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{(1-x^2)^n}~dx=-\frac 12\frac{-2x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=-\frac 12 (-2x){(1-x^2)}^{-n}~dx\]
\[\Rightarrow v=-\frac{1}{2(1-n)}\frac{1}{{(1-x^2)}^{n-1}}\]
وبالتالي فإن:
\[J_2=-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}\int \frac{dx}{(1-x^2)^{n-1}}\]
أي أن:
\[J_2=-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{(1-x^2)^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_2(n-1)\tag{*47}\label{*47} \]
3) نعوض $\eqref{*47}$ في $\eqref{*46}$ نجد أن:
\[I_2(n)=I_2(n-1)-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_2(n-1)\]
\[I_2(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_2(n-1)+\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}\]
أي أن:

$$ \bbox[5px,border:2px solid green]
{
I_2(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_2(n-1)+\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}
}
$$

مثال 1: أوجد حل التكامل:
\[I_1(3)=\int \frac{dx}{(1+x^2)^3}\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
I_1(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_1(n-1)-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1+x^2)}^{n-1}}
}
$$
وبالتالي:
\[I_1(3)=\frac{3-6}{2(-2)}I_1(2)-\frac{1}{2(-2)}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}\]
\[I_1(3)=\frac{3}{4}I_1(2)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}\tag{*48}\label{*48}\]
لحساب $I_1(2)$ نطبق نفس الدستور من أجل $n=2$:
\[I_1(2)=\frac{1}{2}I_1(1)+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\]
\[I_1(2)=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\]
\[I_1(2)=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\tag{*49}\label{*49}\]
نعوض $\eqref{*49}$ في $\eqref{*48}$ نجد أن:
\[I_1(3)=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\right)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}\]
\[I_1(3)=\frac{3}{8}\arctan x+\frac{3}{8}\frac{x}{1+x^2}+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}+c\]
مثال 2: أوجد حل التكامل:
\[I_2(3)=\int \frac{dx}{(1-x^2)^3}\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid green]
{
I_2(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_2(n-1)+\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}
}
$$
وبالتالي:
\[I_2(3)=\frac{3-6}{2(-2)}I_2(2)-\frac{1}{2(-2)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}\]
\[I_2(3)=\frac{3}{4}I_2(2)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}\tag{*50}\label{*50}\]
لحساب $I_2(2)$ نطبق نفس الدستور من أجل $n=2$:
\[I_2(2)=\frac{1}{2}I_2(1)-\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\]
\[I_2(2)=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1-x^2}+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\]
\[I_2(2)=\frac{1}{2}\left(\frac 12 \ln|\frac{1+x}{1-x}|\right)+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\]
\[I_2(2)=\frac{1}{4}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\tag{*51}\label{*51}\]
نعوض $\eqref{*51}$ في $\eqref{*50}$ نجد أن:
\[I_2(3)=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\right)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}\]
\[I_2(3)=\frac{3}{16}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+\frac{3}{8}\frac{x}{1-x^2}+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}+c\]