statmath, Author at statmath

معيار المقارنة للمتسلسلات

اترك تعليقاً / تحليل 1, متتاليات ومتسلسلات / بواسطة statmath

معيار المقارنة للمتسلسلات
(E: The Comparison Test)
(T: Karşılaştırma Testi)

لتكن لدينا المتسلسلتان:
\[\sum^\infty_{k=1}a_k~~,~~\sum^\infty_{k=1}b_k\]
بحيث أن:
\[a_k \ge 0~,~b_k \ge 0~,~a_k \le b_k\]
عندئذٍ:
1) إذا كانت المتسلسلة \(\sum^\infty_{k=1}b_k\) متقاربة فإن المتسلسلة \(\sum^\infty_{k=1}a_k\) متقاربة.
2) إذا كانت المتسلسلة \(\sum^\infty_{k=1}a_k\) متباعدة فإن المتسلسلة \(\sum^\infty_{k=1}b_k\) متباعدة.

مثال: ادرس تقارب المتسلسلة:
\[\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{\ln k}\]
الحل:
بما أن:
\[\ln k \lt k\]
فإن
\[\frac{1}{\ln k}\gt\frac 1k\]
وبما أن المتسلسلة:
\[\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{ k}\]
متباعدة حسب المتسلسلة الريمانية فإن المتسلسلة:
\[\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{\ln k}\]
متباعدة