statmath

المعادلة التفاضلية الجزئية
(E: Partial Differential Equation)
(T: Kısmi Diferansiyel Denklem)

لتكن لدينا دالة \(z=f(x,y)\) تابعة لمتغييرين مستقلين \(x\) و \(y\) عندئذٍ نسمي المعادلة التفاضلية من الشكل:
\[G\left(x,y,z,\frac {\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {y}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial x \partial y},\dots,\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n},\frac {{\partial}^n z}{\partial {y}^n} \right)=0\]
معادلة تفاضلية جزئية حيث:
\(\frac {\partial z}{\partial x}\) هو المشتق الجزئي من الدرجة الأولى للدالة \(z\) بالنسبة لـ \(x\)
و \(\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2}\)المشتق الجزئي من الدرجة الثانية للدالة \(z\) بالنسبة لـ \(x\)
و …
و \(\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n}\)المشتق الجزئي من الدرجة \(n\) للدالة \(z\) بالنسبة لـ \(x\).

ملاحظة: قد لا تكون \(x\) أو \(y\) أو \(z\) ظاهرة في المعادلة التفاضلية الجزئية لكن على الأقل يجب أن يتواجد فيها مشتق واحد على الأقل.
ملاحظة: من الممكن أن تكون الدالة \(f\) تابعة لعدد \(m\) من المتغيرات المستقلة بالشكل الآتي:
\[z=f(x_1,x_2, \cdots, x_m)\]

أمثلة:
\[\frac{\partial z}{\partial x}+x+y=0\]
\[\frac{{\partial}^3 z}{\partial x^3}=0\]
\[{\left(\frac{{\partial}^3 z}{\partial x^3}\right)}^2+y^5=0\]

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية

رتبة المعادلة التفاضلية
(E:The Order of Differential Equation)
(T: Diferansiyel Denklemin Mertebesi)
(T: Diferansiyel Denklemin Basamağı)

هي رتبة أعلى مشتق في المعادلة التفاضلية

درجة المعادلة التفاضلية
(E: The Degree of Differential Equation)
(T: Diferansiyel Denklemin Derecesi)

هي درجة أعلى مشتق في المعادلة التفاضلية

مثال 1:
\[y+\acute y+x=0\]
أعلى مشتق هو \(\acute y\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى.
مثال 2:
  \[a {y}^3+x \acute {\acute y}=13\]
أعلى مشتق \(\acute {\acute y}\)  وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية والدرجة الأولى.
مثال 3:
\[y^{(n)}=0\]
أعلى مشتق هو  \(y^{(n)}\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة  \(n\) والدرجة الأولى.
مثال 4:
\[2y+x{(\acute {\acute y})}^3=6\]
أعلى مشتق هو \(\acute {\acute y}\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية والدرجة الثالثة.
مثال 5:
\[({\acute y})^n+xy=0\]
أعلى مشتق هو  \(\acute y\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة \(n\) .
مثال 6:
\[y^5+\acute y+x=0\]
أعلى مشتق هو \(\acute y\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى.
مثال 7:
\[{(y^{(n)})}^n+1=0\]
أعلى مشتق هو  \(y^{(n)}\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة  \(n\) والدرجة \(n\).
مثال 8:
\[y^5+{(y^{(3)})}^4+\acute y+x=0\]
أعلى مشتق هو \( y^{(3)}\) وبالتالي المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الثالثة والدرجة الرابعة.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
حل المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى